ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ
Нехай функція \(f(x)\) визначені на проміжку \((a;b)\) і \(x_0 \in (a;b)\).
Функція називається зростаючою в точці \(x_0\), якщо існує інтервал \((x_0-\delta; x_0+\delta)\), де \(\delta > 0\), який міститься у проміжку \((a;b)\) і є таким, шо \(f(x)<f(x_0)\) для всіх \(x\) з інтервалу \(x_0-\delta; x_0\) і \(f(x)>f(x_0)\) для всіх \(x\) з інтервалу \((x_0;x_0+\delta)\).
Функція називається спадною в точці \(x_0\), якщо існує інтервал \((x_0-\delta; x_0+\delta)\), який міститься у проміжку \((a;b)\) і є таким, що \(f(x)>f(x_0)\) для будь-якаого \(x\) з інтервалу \(x_0-\delta; x_0\) і \(f(x)<f(x_0)\) для будь-якого \(x\) з інтервалу \((x_0;x_0+\delta)\).
Якщо функція \(y=f(x)\) зростаюча(спадна) у кожній точці проміжку \((a;b)\), то вона зростаюча(спадна) на цьому проміжку.
Теорема 1. Якщо функція \(f(x)\) в кожній точці інтервалу \((a;b)\) має похідну \(f'(x)>0 (f'(x)<0)\), то функція зростає(спадає) на \((a;b)\).
Зверніть увагу:
1.Якщо функція \(f\) є неперервною в якомусь іх кінців інтервалу \((a;b)\), то цю точку можна приєднати до інтервалу зростання(спадання).
2.Для розв’язування задач зручно користуватися таким твердженням: точки, у яких похідна дорівнює 0 або не існує, поділяють область визначення функції \(f\) на проміжки, у кожному з яких \(f'\) зберігає незмінний знак.
Внутрішня точка області визначення функції, у якіх похідна дорівнює нулю або не існує, називається критичною точкою функції.
Внутрішная точка області визначення, у якій \(f'(x)=0\), називається стаціонарною точкою функції.
Теорема 2. Якщо функція \(f(x)\) у внутрішній точці області визначення має екстремум, то в цій точці похідна \(f'(x_0)\), якщо вона існує, дорівнює нулю.
Теорема 3. Якщо функція \(f\) є неперервною в точці \(x_0\), а \(f'(x)>0\) на інтервалі \((a;x_0)\) і \(f'(x)<0\) на інтервалі \((x_0;b)\), то точка \(x_0\) є точкою максимуму функції.
Теорема 4. Якщо функція \(f\) є неперервною в точці \(x_0\), а \(f'(x)<0\) на інтервалі \((a;x_0)\) і \(f'(x)>0\) на інтервалі \((x_0;b)\), то точка \(x_0\) є точкою мінімуму функції.
Теорема 5. Нехай точка \(x_0\) є стаціонарною для функції \(f(x)\) і нехай в цій точці існує похідна другого порядку \(f''(x)\neq 0\). Тоді, якщо \(f''(x)>0\), то \(x_0\) є точкою мінімуму і, якщо \(f''(x)<0\), то \(x_0\) є точкою максимуму функції \(f(x)\).
