Если кривая задана уравнением \(y=\varphi (x), a\leq x\leq b\) , то интеграл вычисляется по формуле $$\int _{AB}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}{f(x,\varphi (x))}\sqrt{1+(\varphi ^'}(x))^2{dx}$$

---

Если кривая задана параметрически \(x=x(t),y=y(t),t_1\leq t\leq t_2\) , то:

$$\int _{AB}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}{f(x(t),y(t))\sqrt{x^'2(t)+y^{'2}(t)}{dt}}$$

---

Вычисление площади

---

Площадь S фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром C вычисляется по формуле (направление такое, что область остается слева):

$$S=\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx$$

---

Формула Грина

---

Пусть C - граница области D и функции \(P(x,y),Q(x,y)\) непрерывны со своими частными производными \(\frac{\partial Q}{\partial x}\) и \(\frac{\partial P}{\partial y}\) непрерывны в замкнутой области D.

$$\oint_{C}{Pdx}+Qdy=\int _D\int (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

---