Формула Ньютона-Лейбница.

     Теорема 1. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла:

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a),$$

где

$$F'(x)=f(x).$$

(1)

Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.
     Другими словами:
     Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.
     Доказательство. Рассмотрим функцию $$I(x)=\int_{a}^{x}{f(x)dx};$$
так как она является первообразной от функции \(f(x)\), то в соответствии с теоремой о первообразных ее нужно искать среди функций \(F(x)+C\), где \(F(x)\) - какая-нибудь из первообразных от \(f(x)\).
     Следовательно, $$I(x)=F(x)+C_{1},$$
где \(C_{1}\) - некоторая определенная постоянная. Для отыскания ее воспользуемся известным свойством функции \(I(x)\): $$I(a)=\int_{a}^{a}{f(x)dx}=0.$$
Отсюда, \(F(a)+C_{1}=0,\) т.е. \(C_{1}=-F(a).\)
     Итак, $$I(x)=\int_{a}^{x}{f(x)dx}=F(x)-F(a);$$
при \(x=b\) получаем доказываемое равенство (1).
     Разность значений функции записывают часто так: $$F(b)-F(a)=F(x)\mid _{a}^{b}.$$
     Вертикальная черта с нижним и верхним индексами, стоящая справа от символа функции и называемая знаком двойной подстановки, указывает, что из значения функции, принимаемого ею при верхнем индексе, нужно вычесть ее значение, принимаемое при нижнем индексе.
     Воспользовавшись этим обозначением, формуле (1) можно придать вид $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(x)\mid _{a}^{b},$$
причем \(F'(x)=f(x).\)
     Формула Ньютона-Лейбница дает нам основной способ вычисления определенных интегралов. Она позволяет находить определенный интеграл, обходя суммирование, при помощи первообразных функций, т.е. при помощи неопределенного интегрирования. Для иллюстрации возьмем несколько простых примеров: $$\int_{1}^{2}{x^{2}dx}=\frac{x^{3}}{3}\mid _{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3};$$

$$\int_{a}^{b}{\frac{1}{x}dx}=\ln x\mid _{a}^{b}=\ln b-\ln a=\ln \frac{b}{a}$$

$$(a>0, b>0);$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x dx}=\sin x\mid _{0}^{\frac{\pi }{2}}=1.$$
     Если взять какие-нибудь другие первообразные от подынтегральных функций (т.е. отличающиеся от выше взятых на постоянные величины), то, очевидно, получим те же результаты.
     Заметим теперь, что так как \(F(x)\) есть первообразная от \(F'(x)\), то $$\int_{a}^{x}{F'(x)dx}=F(x)-F(a);$$
это можно записать так: $$\int_{a}^{x}{dF(x)dx}=F(x)-F(a).$$
Мы пришли к несколько иному виду формулы Ньютона-Лейбница, позволяющему основную теорему этого пункта выразить так:
     Приращение функции в интервале равно определенному интегралу по этому интервалу от дифференциала функции.

---