Перестановка пределов и разбиение интервала интегрирования. Геометрический смысл интеграла. Продолжение. Начало здесь
Теорема о знаке интеграла. Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знака, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция.
Доказательство. Пусть \(f(x)\geq 0\) в интервале \([a,b]\) (\(b>a\)). Тогда в интегральной сумме \(I_{n}=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}\) все слагаемые неотрицательны и, значит, \(I_{n}\geq 0\), а предел неотрицательной величины не может быть отрицательным, т.е. \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq 0\).
Покажем теперь, что этот интеграл не может равняться нулю, если только функция \(f(x)\) не равна нулю тождественно. Пусть в какой-то точке \(c\) интервала \(f(c)>0\). Тогда вследствие непрерывности функции \(f(x)\) существует такой интервал \([\alpha , \beta ]\) (рис.2), в котором функция остается положительной. Обозначим через \(m\) ее наименьшее значение в интервале \([\alpha , \beta ]\); тогда \(f(x)\geq m>0\) для \(x\in [\alpha , \beta ]\) удовлетворяет неравенству $$\sum_{k=1}^{r}{f(\xi _{k})\Delta x_{k}}\geq \sum_{k=1}^{r}{m\Delta x_{k}}=m\sum_{k=1}^{r}{\Delta x_{k}}=m(\beta -\alpha ).$$
Но тогда и ее предел \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq m(\beta -\alpha )>0\). По теореме о разбиении интервала интегрирования $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{\alpha }{f(x)dx}+\int_{\alpha }^{\beta }{f(x)dx}+\int_{\beta }^{b}{f(x)dx}.$$
Первый и третий интегралы в правой части равенства, по доказанному выше, неотрицательны, а второй, как мы только что показали, положителен. Значит, $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}>0,$$
что и требовалось доказать.
Если подынтегральная функция в интервале интегрирования меняет знак, то интеграл от нее может быть и положительным числом, и отрицательным, и равным нулю.
Свойство определенного интеграла, вытекающее из теоремы о знаке интеграла, следует иметь в виду при решении задач. Например, находя с помощью интеграла площадь криволинейной трапеции, необходимо учитывать ее расположение относительно основания. В случае, когда трапеция целиком лежит над осью \(Ox\), интеграл от ординаты выражает площадь; в случае, когда трапеция целиком лежит под осью \(Ox\), интеграл, будучи отрицательным, выражает площадь трапеции, взятую с отрицательным знаком. Наконец, в случае, когда трапеция лежит и над осью \(Ox\), и под ней, для отыскания ее площади нужно отдельно вычислить интегралы, выражающие площади ее частей, расположенных над осью абсцисс, отдельно - интегралы, выражающие площади частей, расположенных под осью абсцисс, и затем взять сумму их абсолютных величин.
Геометрический смысл интеграла. Условимся площади криволинейной трапеции, расположенной над осью \(Ox\), приписывать знак плюс, а расположенной под осью \(Ox\) - знак минус. Тогда, очевидно, в силу теорем о разбиении интервала интегрирования и о знаке интеграла определенный интеграл от функции \(f(x)\) будет суммой алгебраических площадей (т.е. снабженных определенными знаками) криволинейных трапеций, расположенных над и под осью \(Ox\), из которых составляется данная трапеция. Эту сумму и называют алгебраической площадью всей криволинейной трапеции.
Имея это в виду, мы в дальнейшем определенный интеграл $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$
всегда можем рассматривать независимо от конкретного смысла переменной интегрирования \(x\) и функции \(f(x)\) как алгебраическую площадь криволинейной трапеции с основанием \([a,b]\), ограниченной линией \(y=f(x).\)
В соответствии с этой геометрической иллюстрацией интеграла теорема о разбиении интервала интегрирования (см. равенство (2)), выражающая свойство интеграла, которое называется аддитивностью, означает, что если основание криволинейной трапеции разбить на частичные интервалы, то площадт всей трапеции будет равна сумме площадей трапеции, опирающихся на частичные интервалы.
