Неопределенный интеграл
Отыскание первообразных называется неопределенным интегрированием, а выражение, охватывающее множество всех первообразных от данной функции \(f(x)\), называется неопределенным интегралом от \(f(x)\) и обозначается так: $$\int f(x)dx.$$
Функция \(f(x)\) называется подынтегральной функцией, выражение \(f(x)dx\) - подынтегральным выражением, а переменная \(x\) - переменной интегрирования.
Предполагается, что подынтегральная функция \(f(x)\) при рассматриваемых значениях \(x\) непрерывна.
Было установлено, что $$\int f(x)dx=F(x)+C,$$ где \(F(x)\) - какая-нибудь из первообразных от \(f(x)\), а \(C\) - произвольная постоянная.
Неопределенное интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. При помощи дифференцирования мы по данной функции находим ее производную, а при помощи неопределенного интегрирования мы по данной производной находим первообразную функцию. Правильность интегрирования всегда можно проверить дифференцированием результата. Выбор символа для обозначения результата операции, обратной дифференцированию, будет оправдан в дальнейшем.
Найти неопределенный интеграл от функции - это значит найти все первообразные от нее (для чего достаточно указать одну из них). Потому и говорят неопределенное интегрирование, что при этом не указывается, какая именно из первообразных имеется в виду.
График первообразной от функции \(f(x)\) называется интегральной кривой функции \(y=f(x)\).
Очевидно, мы получим любую другую интегральную кривую, если передвинем какую-нибудь интегральную кривую параллельно самой себе в направлении оси координат. Поэтому неопределенный интеграл геометрически представляется множеством всех интегральных кривых, получаемых при непрерывном параллельном движении одной из них по направлению оси \(Oy\) (см. рис.).
По самому определению неопределенного интеграла имеем $$(\int f(x)dx)'=f(x)$$ или $$d\int f(x)dx = f(x)dx$$ и $$\int f'(x)dx=f(x)+C$$ или $$\int df(x)=f(x)+C.$$
Символы дифференциала и неопределенного интеграла уничтожают друг друга, будучи примененными последовательно (если отвлечься от постоянного слагаемого в двух последних формулах).
В дальнейшем, говоря об интеграле и об интегрировании, мы будем понимать неопределенный интеграл и неопределенное интегрирование.
приведем прежде всего формулы интегрирования, прямо вытекающие из формул дифференцирования основных элементарных функций. Каждая из них легко проверяется дифференцированием.
Основная таблица интегралов
