Интегрирование по частям

     Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.
     Пусть \(u(x)\) и \(v(x)\) - дифференцируемые функции от \(x\). Имеем $$d(uv)=udv+vdu,$$ откуда $$udv=d(uv)-vdu.$$
Интегрируя обе части последнего равенства, получим $$\int udv=\int d(uv)-\int vdu$$ или

\(\int udv=uv-\int vdu\).

(1)

     Это и есть формула интегрирования по частям. Произвольную постоянную при интегрировании \(d(uv)\) мы не записываем, присоединяя ее к произвольной постоянной второго, не завершенного в общем виде интегрирования в правой части равенства (1).
     Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение \(f(x)dx\) представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей \(u\) и \(dv\) (последний обязательно содержит \(dx\)) и заменяется двумя интегрированиями: 1) при отыскании \(u\) из выражения для \(dv\); 2) при отыскании интеграла от \(vdu\). Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно трудно найти.
     Иногда для получения результата нужно последовательно несколько раз применить интегрирование по частям.
     Пример 1. \(\int x^{2} \cos x dx\). Положим

\(\cos x dx=dv\) \(\mid\)	\(v=\sin x\)
\(x^{2}=u\) \(\mid\)	\(du=2xdx\)

Формула (1) дает $$\int x^{2}\cos xdx=x^{2} \sin x-2\int x\sin xdx.$$
Последний интеграл снова берется по частям. Окончательно получаем $$\int x^{2} \cos x dx=x^{2} \sin x+2x \cos x-2 \sin x+C.$$
     Многократным интегрированием по частям можно найти интегралы

\(\int x^{m} \sin x dx\),

\(\int x^{m} \cos x dx\),

\(\int x^{m} e^{x} dx\)

(\(m\) - целое положительное число) и, значит, интегралы

\(\int P(x) \sin x dx\),

\(\int P(x) \cos x dx\),

\(\int P(x) e^{x} dx\),

где \(P(x)\) - любой многочлен.
     Повторное интегрирование по частям иногда приводит к первоначальному интегралу, и тогда получается или ничего не дающее тождество (повторное интегрирование было произведено неудачно), или же такое равенство, что из него удается найти выражение для искомого интеграла.
     Пример 2. \(\int e^{x} \cos x dx\). Положим

\(e^{x} dx\), \(\mid\)	\(v=e^{x}\)
\(\cos x=u\), \(\mid\)	\(du=-\sin x dx\)

Отсюда $$\int e^{x} \cos x dx=e^{x} \cos x+\int e^{x} \sin x dx.$$
Снова применим интегрирование по частям, положив

\(e^{x}dx=dv\), \(\mid\)	\(v=e^{x}\)
\(\sin x = u\), \(\mid\)	\(du=\cos x dx\).

Тогда получим $$\int e^{x} \sin x dx=e^{x} \sin x-\int e^{x} \cos x dx,$$
и мы пришли к исходному интегралу. Подставив найденное выражение в результат первой операции, получим $$\int e^{x} \cos x dx=e^{x} \cos x+e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x dx;$$
перенося интеграл из правой части в левую, найдем $$\int e^{x} \cos x dx = \frac{1}{2}e^{x}(\cos x+\sin x)+C.$$

---