Интегрирование с помощью замены переменной (методом подстановки)
Метод подстановки. При отыскании интегралов мы уже неоднократно пользовались теоремой об инвариантности формул интегрирования. Если подынтегральное выражение удавалось записать в виде $$f[\varphi (x)]\varphi '(x) dx=f(u) du,$$
где \(u=\varphi (x)\) и интеграл от выражения справа известен: $$\int f(u) du=F(u)+C,$$
то исходный интеграл был равен $$\int f[\varphi (x)]\varphi '(x) dx=F[\varphi (x)]+C.$$
Основную трудность как раз и представляет преобразование подынтегрального выражения, так как заранее неизвестно к чему нужно придти и какой должна быть функция \(\varphi (x)\). В простейших случаях формула подстановки \(u=\varphi (x)\) не записывалась и окончательное выражение для интеграла получалось сразу.
В более сложных случаях рекомендуется сначала выбрать ту подстановку, которая представляется удачной, и лишь после преобразования подынтегрального выражения смотреть, добились ли мы своей цели - упрощения итеграла. Может оказаться, что новый интеграл еще не является табличным, но приводится к такому проще чем исходный; это уже оправдывает сделанную подстановку.
Например, интеграл \(\int \frac{\sin 2x}{1+\sin ^{4}x}dx\) в результате подстановки \(\sin x=u\), \(\cos x dx=du\) приводится к интегралу \(\int \frac{2u}{1+u^{4}}du\). Записав последний в виде \(\int \frac{d(u^{2})}{1+(u^{2})^{2}}\) (при этом подстановка \(u^{2}=v\) совершается в уме), видим, что он равен \(arc tg u^{2}+C\) и значит $$\int \frac{\sin 2x}{1+\sin ^{4}x}dx=arctg(\sin ^{2}x)+C.$$
(Более сложная подстановка \(\sin ^{2}x=u\) сразу привела бы заданный интеграл к табличному.)
До сих пор мы применяли метод подстановки, заменяя переменную интегрирования \(x\) другой переменной \(u\) при помощи формулы \(u=\varphi (x).\) Можно производить замену, выражая не \(u\) через \(x\), а наоборот \(x\) через \(u\), т.е. полагая
|
\(x=\psi (u)\),
|
\(dx=\psi '(u)du\) |
(предполагается, что \(\psi (u)\) и \(\psi '(u)\) непрерывны). Тогда $$f(x)dx=f[\psi (u)]\psi '(u)du$$
| \(\int f(x)dx=\int f[\psi (u)]\psi '(u) du\). |
(1) |
Если последний интеграл удалось найти и он оказался равным \(F(u)+C\), то заданный интеграл находится возвращением к переменной \(x\). Для этого нужно из уравнения \(x=\psi (u)\) выразить \(u\) через \(x\), т.е. найти обратную функцию и подставить ее вместо \(u\) в выражение найденного интеграла.
Как и раньше, самое трудное - это удачно выбрать подстановку \(x=\psi (u)\).
Пример 1. \(\int x^{2}\sqrt[3]{4-3x^{3}}dx\). Положим \(4-3x^{3}=u\).
Дифференцируя, имеем \(-9x^{2}dx=du\) и \(x^{2}=-\frac{1}{9}du.\) Поэтому $$\int x^{2}\sqrt[3]{4-3x^{3}}dx=-\frac{1}{9}\int \sqrt[3]{u}du=-\frac{1}{12}u^{\frac{4}{3}}+C=-\frac{1}{12}(4-3x^{3})\sqrt[3]{4-3x^{3}}+C.$$
Пример 2. \(\int x^{5}e^{x^{3}}dx\). Положим \(x^{3}=u\). Имеем \(3x^{2}dx=du\) и, значит, $$\int x^{2}x^{3}e^{x^{3}}dx=\frac{1}{3}\int ue^{u}du,$$
а этот интеграл, как мы знаем, берется по частям. Получаем $$\int x^{5}e^{x^{3}}dx=\frac{1}{3}e^{u}(u-1)+C=\frac{1}{3}e^{x^{3}}(x^{3}-1)+C.$$
Пока мы пользовались подстановками типа \(u=\varphi (x)\). Покажем теперь применение подстановок типа \(x=\psi (u)\) на примерах очень часто встречающихся тригонометрических и гиперболических подстановок.
Пример 3. \(\int \sqrt{1-x^{2}}dx\). Положим \(x=\sin u\), \(dx=\cos u du\). Подставляя, находим $$\int \sqrt{1-x^{2}}dx=\int \cos ^{2}u du=\frac{1}{2}(u+\frac{1}{2}\sin 2u)+C.$$
Возвращаясь к переменной \(x\) и замечая, что \(\sin 2u=2\sin u\cos u=2x\sqrt{1-x^{2}}\), получим $$\int \sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}(arc\sin x+x\sqrt{1-x^{2}})+C.$$
