Интегралы с бесконечными пределами.

     Говоря об определенных интегралах, мы всегда до сих пор подразумевали, что интервал интегрирования конечен и подынтегральная функция в нем непрерывна. Именно для этого случая и сформулирована теорема существования определенного интеграла. Довольно часто, однако, возникает необходимость распространить определение определенного интеграла на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной подынтегральной функции.
     Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна в полубесконечном интервале $[a, \propto)$. Тогда мы можем вычислить интеграл от функции $f(x)$, взятый по любому интервалу $[a, \eta]$, $\eta >a$. Интеграл $$I(\eta )=\int_{a}^{\eta }{f(x)dx}$$
тем лучше выражает величину, которую следует принять в качестве интеграла от функции $f(x)$ в интервале $[a, \propto)$, чем больше $\eta$. Заставим $\eta$ неограниченно возрастать. Имеются две возможности: или $I(\eta )$ при $\eta\rightarrow\propto$ имеет предел, или $I(\eta )$ предела не имеет; последнее означает, что $I(\eta )$ или стремится к бесконечности, или колеблется и вообще не стремится ни к какому пределу.
     Определение. Несобственным интегралом от функции $f(x)$ в интервале $[a, \propto)$ называется предел интеграла $\int_{a}^{\eta }{f(x)dx}$ при $\eta\rightarrow\propto$. Записывают это так: $$\int_{a}^{\propto}{f(x)dx}=\lim_{\eta\rightarrow\propto}\int_{a}^{\eta}{f(x)dx}.$$
     Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.
     Если первообразная функция $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x)$ известна, то легко установить, сходится несобственный интеграл или нет. С помощью формулы Ньютона-Лейбница получаем $$\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}=\lim_{\eta \rightarrow \propto }[F(\eta )-F(a)]=F(\propto )-F(a).$$
     Таким образом, если предел первообразной $F(x)$ при $x\rightarrow \propto$ существует (он обозначен через $F(\propto )$), то несобственный интеграл сходится, а если этот предел не существует, то интеграл расходится.
     Пример 1. $$\int_{0}^{\propto }{e^{-x}dx}=-e^{-x}\mid _{0}^{\propto }=0+1=1.$$
Следовательно, несобственный интеграл $\int_{0}^{\propto }{e^{-x}dx}$ сходится и равен $1$.
     Пример 2. $$\int_{1}^{\propto }{\frac{dx}{x}}=\ln x\mid _{1}^{\propto }=\propto$$
Интеграл расходится, так как первообразная $\ln x$ при $x\rightarrow \propto$ стремится к бесконечности.
     Пример 3. Интеграл $\int_{0}^{\propto }{\cos xdx}$ расходится, так как величина $\int_{0}^{\eta }{\cos xdx}=\sin x\mid _{0}^{\eta }=\sin \eta$ не стремится к пределу при $\eta \rightarrow \propto$ (колеблется).

     Аналогично определяется несобственный интеграл и в интервале $(-\propto , a]$: $$\int_{-\propto }^{a}{f(x)dx}=\lim_{\eta \rightarrow -\propto }\int_{\eta }^{a}{f(x)dx}=F(a)-F(-\propto),$$
где $F(-\propto)$ - предел первообразной $F(x)$ при $x\rightarrow -\propto$.
     Если функция $f(x)$ определена и непрерывна на всей числовой оси, то можно рассматривать и несобственный интеграл в интервале $(-\propto, +\propto)$. По определению $$\int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx}=\int_{-\propto }^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{+\propto }{f(x)dx}.$$
Если оба интеграла в правой части сходятся, то интеграл $\int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx}$ называется сходящимся.
     Если первообразная $F(x)$ известна, то $$\int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx}=F(+\propto )-F(-\propto ),$$
где под символами $F(+\propto )$ и $F(-\propto )$ понимают пределы, к которым стремится $F(x)$ соответственно при $x\rightarrow +\propto$ и $x\rightarrow -\propto$. Если хотя бы один из этих пределов не существует, то несобственный интеграл расходится.
     Пример 4. $$\int_{-\propto }^{+\propto }{\frac{dx}{1+x^{2}}}=arctg x\mid _{-\propto }^{+\propto }=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\pi.$$
     Пример 5. $$\int_{-\propto }^{+\propto }{e^{x}dx}=e^{x}\mid _{-\propto }^{+\propto }=\propto -0=\propto.$$
Интеграл расходится.
     Пример 6. $$\int_{-\propto }^{+\propto }{\frac{x}{1+x^{2}}dx}=\frac{1}{2}\ln (1+x^{2})\mid _{-\propto }^{+\propto }.$$
     Здесь и $F(-\propto )$ и $F(+\propto )$ равны бесконечности; интеграл расходится.

     Заметим, что на несобственные интегралы без всяких изменений переносятся простейшие свойства определенного интеграла (см. здесь), если только все интегралы, стоящие в правых частях равенств, сходятся. Справедливы также теоремы о перестановке пределов, о разбиении интервала интегрирования, и о знаке интеграла.

     Интегралы с бесконечными пределами. Продолжение здесь

---