Интегралы с бесконечными пределами.
Говоря об определенных интегралах, мы всегда до сих пор подразумевали, что интервал интегрирования конечен и подынтегральная функция в нем непрерывна. Именно для этого случая и сформулирована теорема существования определенного интеграла. Довольно часто, однако, возникает необходимость распространить определение определенного интеграла на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной подынтегральной функции.
Пусть функция \(y=f(x)\) непрерывна в полубесконечном интервале \([a, \propto)\). Тогда мы можем вычислить интеграл от функции \(f(x)\), взятый по любому интервалу \([a, \eta]\), \(\eta >a\). Интеграл $$I(\eta )=\int_{a}^{\eta }{f(x)dx}$$
тем лучше выражает величину, которую следует принять в качестве интеграла от функции \(f(x)\) в интервале \([a, \propto)\), чем больше \(\eta\). Заставим \(\eta\) неограниченно возрастать. Имеются две возможности: или \(I(\eta )\) при \(\eta\rightarrow\propto\) имеет предел, или \(I(\eta )\) предела не имеет; последнее означает, что \(I(\eta )\) или стремится к бесконечности, или колеблется и вообще не стремится ни к какому пределу.
Определение. Несобственным интегралом от функции \(f(x)\) в интервале \([a, \propto)\) называется предел интеграла \(\int_{a}^{\eta }{f(x)dx}\) при \(\eta\rightarrow\propto\). Записывают это так: $$\int_{a}^{\propto}{f(x)dx}=\lim_{\eta\rightarrow\propto}\int_{a}^{\eta}{f(x)dx}.$$
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.
Если первообразная функция \(F(x)\) для подынтегральной функции \(f(x)\) известна, то легко установить, сходится несобственный интеграл или нет. С помощью формулы Ньютона-Лейбница получаем $$\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}=\lim_{\eta \rightarrow \propto }[F(\eta )-F(a)]=F(\propto )-F(a).$$
Таким образом, если предел первообразной \(F(x)\) при \(x\rightarrow \propto\) существует (он обозначен через \(F(\propto )\)), то несобственный интеграл сходится, а если этот предел не существует, то интеграл расходится.
Пример 1. $$\int_{0}^{\propto }{e^{-x}dx}=-e^{-x}\mid _{0}^{\propto }=0+1=1.$$
Следовательно, несобственный интеграл \(\int_{0}^{\propto }{e^{-x}dx}\) сходится и равен \(1\).
Пример 2. $$\int_{1}^{\propto }{\frac{dx}{x}}=\ln x\mid _{1}^{\propto }=\propto$$
Интеграл расходится, так как первообразная \(\ln x\) при \(x\rightarrow \propto\) стремится к бесконечности.
Пример 3. Интеграл \(\int_{0}^{\propto }{\cos xdx}\) расходится, так как величина \(\int_{0}^{\eta }{\cos xdx}=\sin x\mid _{0}^{\eta }=\sin \eta\) не стремится к пределу при \(\eta \rightarrow \propto\) (колеблется).
Аналогично определяется несобственный интеграл и в интервале \((-\propto , a]\): $$\int_{-\propto }^{a}{f(x)dx}=\lim_{\eta \rightarrow -\propto }\int_{\eta }^{a}{f(x)dx}=F(a)-F(-\propto),$$
где \(F(-\propto)\) - предел первообразной \(F(x)\) при \(x\rightarrow -\propto\).
Если функция \(f(x)\) определена и непрерывна на всей числовой оси, то можно рассматривать и несобственный интеграл в интервале \((-\propto, +\propto)\). По определению $$\int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx}=\int_{-\propto }^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{+\propto }{f(x)dx}.$$
Если оба интеграла в правой части сходятся, то интеграл \(\int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx}\) называется сходящимся.
Если первообразная \(F(x)\) известна, то $$\int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx}=F(+\propto )-F(-\propto ),$$
где под символами \(F(+\propto )\) и \(F(-\propto )\) понимают пределы, к которым стремится \(F(x)\) соответственно при \(x\rightarrow +\propto\) и \(x\rightarrow -\propto\). Если хотя бы один из этих пределов не существует, то несобственный интеграл расходится.
Пример 4. $$\int_{-\propto }^{+\propto }{\frac{dx}{1+x^{2}}}=arctg x\mid _{-\propto }^{+\propto }=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\pi.$$
Пример 5. $$\int_{-\propto }^{+\propto }{e^{x}dx}=e^{x}\mid _{-\propto }^{+\propto }=\propto -0=\propto.$$
Интеграл расходится.
Пример 6. $$\int_{-\propto }^{+\propto }{\frac{x}{1+x^{2}}dx}=\frac{1}{2}\ln (1+x^{2})\mid _{-\propto }^{+\propto }.$$
Здесь и \(F(-\propto )\) и \(F(+\propto )\) равны бесконечности; интеграл расходится.
Заметим, что на несобственные интегралы без всяких изменений переносятся простейшие свойства определенного интеграла (см. здесь), если только все интегралы, стоящие в правых частях равенств, сходятся. Справедливы также теоремы о перестановке пределов, о разбиении интервала интегрирования, и о знаке интеграла.
Интегралы с бесконечными пределами. Продолжение здесь
