Интегралы с бесконечными пределами.


     Говоря об определенных интегралах, мы всегда до сих пор подразумевали, что интервал интегрирования конечен и подынтегральная функция в нем непрерывна. Именно для этого случая и сформулирована теорема существования определенного интеграла. Довольно часто, однако, возникает необходимость распространить определение определенного интеграла на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной подынтегральной функции.
     Пусть функция y=f(x) непрерывна в полубесконечном интервале [a, \propto). Тогда мы можем вычислить интеграл от функции f(x), взятый по любому интервалу [a, \eta], \eta >a. Интеграл I(\eta )=\int_{a}^{\eta }{f(x)dx}
тем лучше выражает величину, которую следует принять в качестве интеграла от функции f(x) в интервале [a, \propto), чем больше \eta. Заставим \eta неограниченно возрастать. Имеются две возможности: или I(\eta ) при \eta\rightarrow\propto имеет предел, или I(\eta ) предела не имеет; последнее означает, что I(\eta ) или стремится к бесконечности, или колеблется и вообще не стремится ни к какому пределу.
     Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) в интервале [a, \propto) называется предел интеграла \int_{a}^{\eta }{f(x)dx} при \eta\rightarrow\propto. Записывают это так: \int_{a}^{\propto}{f(x)dx}=\lim_{\eta\rightarrow\propto}\int_{a}^{\eta}{f(x)dx}.
     Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.
     Если первообразная функция F(x) для подынтегральной функции f(x) известна, то легко установить, сходится несобственный интеграл или нет. С помощью формулы Ньютона-Лейбница получаем \int_{a}^{\propto }{f(x)dx}=\lim_{\eta \rightarrow \propto }[F(\eta )-F(a)]=F(\propto )-F(a).
     Таким образом, если предел первообразной F(x) при x\rightarrow \propto существует (он обозначен через F(\propto )), то несобственный интеграл сходится, а если этот предел не существует, то интеграл расходится.
     Пример 1. \int_{0}^{\propto }{e^{-x}dx}=-e^{-x}\mid _{0}^{\propto }=0+1=1.
Следовательно, несобственный интеграл \int_{0}^{\propto }{e^{-x}dx} сходится и равен 1.
     Пример 2. \int_{1}^{\propto }{\frac{dx}{x}}=\ln x\mid _{1}^{\propto }=\propto
Интеграл расходится, так как первообразная \ln x при x\rightarrow \propto стремится к бесконечности.
     Пример 3. Интеграл \int_{0}^{\propto }{\cos xdx} расходится, так как величина \int_{0}^{\eta }{\cos xdx}=\sin x\mid _{0}^{\eta }=\sin \eta не стремится к пределу при \eta \rightarrow \propto (колеблется).


     Аналогично определяется несобственный интеграл и в интервале (-\propto , a]: \int_{-\propto }^{a}{f(x)dx}=\lim_{\eta \rightarrow -\propto }\int_{\eta }^{a}{f(x)dx}=F(a)-F(-\propto),
где F(-\propto) - предел первообразной F(x) при x\rightarrow -\propto.
     Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси, то можно рассматривать и несобственный интеграл в интервале (-\propto, +\propto). По определению \int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx}=\int_{-\propto }^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{+\propto }{f(x)dx}.
Если оба интеграла в правой части сходятся, то интеграл \int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx} называется сходящимся.
     Если первообразная F(x) известна, то \int_{-\propto }^{+\propto }{f(x)dx}=F(+\propto )-F(-\propto ),
где под символами F(+\propto ) и F(-\propto ) понимают пределы, к которым стремится F(x) соответственно при x\rightarrow +\propto и x\rightarrow -\propto. Если хотя бы один из этих пределов не существует, то несобственный интеграл расходится.
     Пример 4. \int_{-\propto }^{+\propto }{\frac{dx}{1+x^{2}}}=arctg x\mid _{-\propto }^{+\propto }=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\pi.
     Пример 5. \int_{-\propto }^{+\propto }{e^{x}dx}=e^{x}\mid _{-\propto }^{+\propto }=\propto -0=\propto.
Интеграл расходится.
     Пример 6. \int_{-\propto }^{+\propto }{\frac{x}{1+x^{2}}dx}=\frac{1}{2}\ln (1+x^{2})\mid _{-\propto }^{+\propto }.
     Здесь и F(-\propto ) и F(+\propto ) равны бесконечности; интеграл расходится.


     Заметим, что на несобственные интегралы без всяких изменений переносятся простейшие свойства определенного интеграла (см. здесь), если только все интегралы, стоящие в правых частях равенств, сходятся. Справедливы также теоремы о перестановке пределов, о разбиении интервала интегрирования, и о знаке интеграла.


     Интегралы с бесконечными пределами. Продолжение здесь

Оценка - 1.0 (19)

2012-11-08 • Просмотров [ 3966 ]