Интегрирование простейших иррациональных функций. Продолжение. Начало здесь

     II. Рассмотрим несколько интегралов, зависящих от иррационального выражения \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}\).
     1) $$\int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}.$$
     Вынося за символ интеграла \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) (если \(a>0\)) или \(\frac{1}{\sqrt{-a}}\) (если \(a<0\)), приведем интеграл к виду

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+px+q}}$$

или

$$\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+px+q}}$$

Выделяя полные квадраты, получим

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{p}{2})^{2}+\frac{4q-p^{2}}{4}}}$$

или

$$\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{4q+p^{2}}{4}-(x-\frac{p}{2})^{2}}}.$$

     Первый интеграл выраается через логарифмы, а второй при \(4q+p^{2}>0\) - через арксинус; если же во втором интеграле \(4q+p^{2}\leq 0\), то подынтегральная функция принимает лишь мнимые значения.
     2) $$\int \frac{dx}{(x-\alpha )\sqrt{ax^{2}+bx+c}}.$$
     Легко проверить, что замена \(x-\alpha =\frac{1}{u}\) приводит этот интеграл к интегралу вида 1).
     3) $$\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx.$$
     Этот интеграл можно разбить на два интеграла, выделив в чистлителе производную подкоренного выражения; тогда один легко взять непосредственно (как интеграл от степенной функции), а второй является интегралом вида 1).
     4) $$\int \sqrt{ax^{2}+bx+c}dx.$$
     Выделением полного квадрата в подкоренном выражении интеграл сводится к одному из трех известных интегралов:

$$\int \sqrt{1-x^{2}}dx,$$

$$\int \sqrt{x^{2}+1}dx,$$

$$\int \sqrt{x^{2}-1}dx.$$

---