Интегрирование тригонометрических функций.
Пусть дано выражение, зависящее, и притом рационально, только от тригонометрических функций. Так как все тригонометрические функции рационально определяются через \(\sin x\) и \(\cos x\), то это выражение можно считать рациональной функцией от \(\sin x\) и \(\cos x\), т.е. оно имеет вид \(R(\sin x, \cos x)\).
Интеграл \(\int R(\sin x, \cos x)dx\) подстановкой \(u=tg\frac{x}{2}\) преобразуется в интеграл от рациональной функции (рационализируется).
По известным тригонометрическим формулам $$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=2tg \frac{x}{2}\cos ^{2}\frac{x}{2}=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}},$$ $$\cos x=\cos ^{2}\frac{x}{2}-\sin ^{2}\frac{x}{2}=\cos ^{2}\frac{x}{2}(1-tg^{2}\frac{x}{2})=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}},$$
т.е.
|
$$\sin x=\frac{2u}{1+u^{2}},$$
|
$$\cos x=\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}}.$$
|
Наконец, из равенства \(x=2arctgu\) имеем \(dx=\frac{2}{1+u^{2}}du\). Итак, $$\int R(\sin x, \cos x)dx=\int R(\frac{2}{1+u^{2}}, \frac{1-u^{2}}{1+u^{2}})\frac{2}{1+u^{2}}du.$$
Подынтегральная функция рациональна относительно \(u\).
Метод интегрирования функций \(R(\sin x, \cos x)\) с помощью подстановки \(u=tg\frac{x}{2}\) всегда приводит к цели, но именно в силу своей общности он часто является не наилучшим в смысле краткости и простоты необходимых преобразований.
Если, например, \(\sin x\) и \(\cos x\) входят в выражение функции \(R\) только в четных степенях, то гораздо быстрее ведет к цели подстановка \(u=tg x\). Тогда \(\sin ^{2}x=\frac{u^{2}}{1+u^{2}}\), \(\cos^{2}x=\frac{u^{2}}{1+u^{2}}\), \(dx=\frac{du}{1+u^{2}}\), и интеграл рационализируется.
Часто также бывает выгодным принять \(u=\sin x\) или \(u=\cos x\). Для иллюстрации рассмотрим интегралы типа $$\int \sin ^{m}x\cos ^{n}x dx,$$
где \(m\) и \(n\) - целые числа. При их отыскании можно вообще избежать интегрирования рациональных дробей.
а) Если \(m>0\) и нечетное, то подстановка \(\cos x=u\) сразу приводит интеграл к сумме интегралов от степенных функций; если \(n>0\) и нечетное, то к тому же приводит подстановка \(\sin x=u\).
б) Если оба показателя \(m\) и \(n\) положительны и четны, то с успехом применяются тригонометрические преобразования с кратными аргументами.
в) Если оба показателя \(m\) и \(n\) отрицательны и сумма их четна, то подстановка \(u=tg x\) (или \(u=ctg x\)) снова приводит интеграл к сумме интегралов от степенных функций.
г) Если один из показателей равен нулю, а второй есть отрицательное нечетное число, то общая подстановка \(u=tg\frac{x}{2}\) опять приводит к интегрированию степенных функций.
Интегралы \(\int \sin ^{m}x\cos ^{n}x dx\) очень удобно отыскивать при помощи рекуррентных формул, позволяющих постепенно переходить от больших показателей степеней \(m\) и \(n\) к меньшим.
