Пусть \(P(x,y),Q(x,y)\) - непрерывны в точках дуги AB гладкой кривой K, имеющей уравнение \(y=\varphi (x), a\leq x\leq b\). тогда криволинейный интеграл 2 рода вычисляется по формуле:

$$\int _{AB}Pdx+Qdy=\int_{a}^{b}[P(x,\varphi (x))+Q(x,\varphi (x)){\varphi ^'}(x)]dx$$

---

Если кривая задана параметрическими уравнениями \(x=x(t),y=y(t),t_1\leq t\leq t_2\), то:

$$\int _{AB}Pdx+Qdy=\int_{t_1}^{t_2}{[P(x(t),y(t)){x^'}t+Q(x(t),y(t)){y^'}t]dt}$$

---

Если пусть интегрирование - простая замкнутая кривая, то интеграл берется по направлению против часовой стрелки.

---

Если для криволинейного интеграла \(\int _{K}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\) выполняется следующие соотношение в области В

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

---

то по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в D, интеграл равен нулю, а для незамкнутых кривых не зависит от пути интегрирования (поэтому удобно выбирать путь как ломаную из отрезков, паралельных осями ).

---