1. Запись математических предложений и определений в виде формул логики предикатов.
    Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства. Приведем несколько примеров таких записей.
    Пример 1. Определение предела числовой последовательности.

Здесь использован трехмерный предикат \(Q ( \varepsilon , n, n_{0})\): \(( n \geq n_{0} \rightarrow \left|a_{n} -a \right| < \varepsilon )\).
    Пример 2. Определение предела функции в точке.
Здесь использован трехмерный предикат \(P ( \varepsilon , \delta , x )\): \(( 0< \left|x -x_{0} \right| < \delta \Rightarrow \left|f(x) - b \right| < \varepsilon )\)
    Пример 3. Определение непрерывности функции в точке.
    Функция \(f (x)\), определенная на множестве \(E\), непрерывна в точке \(x _{0} \epsilon E\), если
    Здесь также использован трехмерный предикат \(P ( \varepsilon , \delta , x )\).
    Пример 4. Определение возрастающей функции.
    Функция \(f(x)\), определенная на множестве \(E\), возрастает на этом множестве, если $$\forall x_{1} \epsilon E \forall x_{2} \epsilon E ( x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}) ).$$
Здесь использован двухместный предикат \(W (x_{1}, x_{2})\): \(( x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}) ).\)
    Пример 5. Определение ограниченной функции.
    Функция \(f(x)\), определенная на множестве \(E\), ограничена на этом множестве, если $$\exists M \epsilon R_{+} \forall x \epsilon E ( \left|f(x) \right| \leq M).$$
Здесь использован двухместный предикат \(L ( x, M)\): \(( \left|f(x) \right| \leq M).\)
    Как известно, многие теоремы математики допускают формулировку в виде условных предложений. Например, рассмотрим следующую теорему: «Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла». Условием этой теоремы является предложение «Точка лежит на биссектрисе угла», а заключением – предложение «Точка равноудалена от сторон угла». Видим, что и условие, и заключение теоремы представляют собой предикаты, заданные на множестве \(R^{2}\). Обозначая эти предикаты соответственно через \(P (x)\) и \(Q (x)\), где \(x \epsilon R ^{2}\), теорему можем записать в виде формулы: $$\forall x \epsilon R ^{2} ( P (x) \rightarrow Q (x)).$$
    В связи с этим, говоря о строении теоремы, можно выделить в ней три части:
    1) условие теоремы: предикат \(P (x)\), заданный на множестве \(R^{2}\);
    2) заключение теоремы: предикат \(Q (x)\), заданный на множестве \(R^{2}\);
    3) разъяснительная часть: в ней описывается множество объектов, о которых идет речь в теореме.
    2. Построение противоположных утверждений.
    Пусть дано некоторое математическое утверждение \(A\). Ему противоположным будет утверждение \(\bar{A}\).
    Логика предикатов позволяет путем равносильных преобразований формулы \(\bar{A}\) придать ей хорошо обозримый вид.
    Так, например, определение ограниченной функции дается формулой: $$\exists M \epsilon R_{+} \forall x \epsilon E ( \left|f(x) \right| \leq M).$$
Определение неограниченной функции мы получим, беря отрицание этой формулы и проводя равносильные преобразования: $$\overline {\exists M \epsilon R_{+} \forall x \epsilon E ( \left|f(x) \right| \leq M) } \equiv \forall M \epsilon R_{+} \overline { \forall x \epsilon E \left|f(x) \right| \leq M } \equiv$$ $$\forall M \epsilon R_{+} \exists x \epsilon E \overline {( \left|f(x) \right| \leq M) } \equiv \forall M \epsilon R_{+} \exists x \epsilon E (\left|f(x) \right| > M ).$$
Последняя формула дает не негативное, а положительное определение неограниченной функции.
    Из приведенного определения видно, что для постро­ения противоположного утверждения к утверждению, заданному формулой логики предикатов, содержащей все кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы на противоположные и взять отрицание от предиката, стоящего под знаком кванторов.
    Так, утверждение, что \(b \neq \lim_{x \to x_{0}} f (x)\) даст формула: $$\overline { \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \epsilon E ( 0 < \left|x - x_{0} \right| < \delta \Rightarrow \left|f(x) - b \right| < \varepsilon ) } \equiv$$ $$\equiv \exists \varepsilon > 0 \forall \delta > 0 \exists x \epsilon E \overline { ( 0 < \left|x - x_{0} \right| < \delta \Rightarrow \left|f(x) - b \right| < \varepsilon } ) \equiv$$ $$\equiv \exists \varepsilon > 0 \forall \delta > 0 \exists x \epsilon E ( 0 < \left|x - x_{0} \right| < \delta \wedge \left|f(x) - b \right| \geq \varepsilon ).$$
    Особый интерес представляет построение утверждения, отрицающего справедливость некоторой теоремы: \(\forall x \epsilon E ( P (x) \rightarrow Q (x))\). Это будет утверждение: $$\overline { \forall x \epsilon E ( P (x) \rightarrow Q (x)) } \equiv \exists x \epsilon \overline { E ( P (x) \rightarrow Q (x)) } \equiv \exists x \epsilon ( P (x) \wedge \overline { Q (x) } ).$$
    Следовательно, чтобы доказать, что теорема \(\forall x \epsilon E ( P (x) \rightarrow Q (x))\) неверна, достаточно указать такой элемент \(x \epsilon E\), для которого \(P ( x)\) - истина, a \(Q ( x)\) - ложь, то есть привести контрпример.
    3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
    Рассмотрим четыре теоремы:

$$\forall x \epsilon E ( P (x) \rightarrow Q (x) ),$$

(1)

$$\forall x \epsilon E ( Q (x) \rightarrow P (x) ),$$

(2)

$$\forall x \epsilon E ( \overline { P} (x) \rightarrow \overline { Q} (x) ),$$

(3)

$$\forall x \epsilon E ( \overline { Q} (x) \rightarrow \overline { P } (x) ).$$

(4)

    Пара теорем, у которых условие одной является заключением второй, а условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными друг другу.
    Так, теоремы (1) и (2) , а также (3) и (4) - взаимно обратные теоремы. При этом, если одну из них называются прямой теоремой, то вторая называется обратной.
    Пара теорем, у которых условие и заключение одной является отрицанием соответственно условия и заключения другой, называются взаимно противоположными.
    Так, теоремы (1) и (3), а также теоремы (2) и (4) являются взаимно противоположными теоремами.
    Например, для теоремы «Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» (1) обратной является теорема «Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны» (2). Для теоремы (1) противоположной является теорема «Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником» (3), а для теоремы (2) противоположной является теорема «Если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны» (4).
    В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являются одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновременно истинными. Контрпримером к теореме (1) является равнобочная трапеция
    Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще говоря, не равносильны, то есть одна из них может быть истинной, а другая ложной. Однако легко показать, что теоремы (1) и (4), а также теоремы (2) и (3) всегда равносильны. Действительно, $$\forall x \epsilon E ( P(x) \rightarrow Q (x) ) \equiv \forall x \epsilon E ( \overline { P} (x) \rightarrow Q (x) ) \equiv$$ $$\forall x \epsilon E (\bar{ \bar{ Q}} (x) \vee \bar{P} (x) ) \equiv \forall x \epsilon E ( \bar{Q} (x) \rightarrow \bar{P} (x) ) .$$
    Аналогично доказывается равносильность $$\forall x \epsilon E ( Q (x) \rightarrow P (x) ) \equiv \forall x \epsilon E ( \bar{P} (x) \rightarrow \bar{Q} (x) ) .$$
    Из этих равносильностей следует, что, если доказана теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказана теорема (2), то доказана и теорема (3).
    4. Необходимые и достаточные условия.
    Рассмотрим теорему:

$$\forall x \epsilon E ( P (x) \rightarrow Q (x) ) .$$

(5)

    Множество истинности предиката \(P (x) \rightarrow Q (x)\) есть множество \(C I_{p} \bigcup{ } I _{Q}\). Но тогда множеством ложности этого предиката будет \(C ( C I_{p} \bigcup{ } I _{Q}) = I_{P} \bigcap{} C I_{Q}\). Последнее множество будет пустым лишь в случае, когда \(I_{P} \subset I_{Q}\).
    Рассмотрим примеры.
    Пример 6. Теорема «Если число \(l\) делится на 12, то оно делится на 3» истинна. По-этому здесь делимость числа \(l\) на 12 является достаточным условием для делимости числа \(l\) на 3, а делимость числа \(l\) на 3 является необходимым условием для делимости числа \(l\) на 12. В то же время обратная теорема «Если число \(l\) делится на 3, то оно делится на 12» не верна. По-этому делимость числа \(l\) на 3 не является достаточным условием делимости числа \(l\) на 12, а делимость числа \(l\) на 12 не является необходимым условием делимости числа \(l\) на 3.
    Пример 7. Теоремы «В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой» и «Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой, то в этот четырехугольник можно вписать окружность» взаимно обратны. Обе они истинны, и, следовательно, здесь можно употребить логическую связку «необходимо и достаточно»:
    «Для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны между собой».
    5. Доказательство методом от противного.
    Доказательство методом от противного обычно проводится по следующей схеме: предполагается, что теорема

$$\forall x \epsilon E ( P (x) \rightarrow Q ( x))$$

(6)

не верна, то есть существует такой объект \(x\), что условие \( P (x) \) истинно, а заключение \( Q (x) \) - ложно. Если из этих предположений путем логических рассуждений приходят к противоречивому утверждению, то делают вывод о том, что исходное предположение не верно, и верна теорема (6).

---