1. Теория частичного упорядочения.
    Пусть теория \(T\) содержит одну предикатную букву \(A_{1}^{2}\) и не содержит функциональных букв и предметных констант. Вместо формул \(A_{1}^{2} (x_{1},x_{2})\) и \( \overline { A_{1}^{2} (x_{1},x_{2}) } \) обычно пишут \(x_{1} < x_{2}\) и \(x_{1} \not< x_{2}\).
    Пусть \(T\) содержит две специальные аксиомы:
    a) \(\forall x_{1}( x_{1} \not< x_{1} )\) - иррефлективность;
    б) \(\forall x_{1} \forall x_{2} \forall x_{3}^{}{}( ( x_{1} < x_{2} ) \wedge (x_{2} < x_{3}) \rightarrow (x_{1} < x_{3} ))\) - транзитивность.
    Всякая модель этой теории называется частично упорядоченной структурой.
    2. Теория групп.
    Пусть теория \(T\) содержит одну предикатную букву \(A_{1}^{2}\), одну функциональную букву \(f _{1} ^{2}\) и одну предметную константу \(a_{1}\). Пользуясь принятыми в алгебре обозначениями, будем писать:
     - \(t=s\) вместо \(A_{1}^{2}(t,s)\),
     - \(t+s\) вместо \(f_{1}^{2}(t,s)\),
     - 0 вместо \(a_{1}\).
     Специальными аксиомами теории \(T\) здесь являются формулы:
    а) \(\forall x_{1} \forall x_{2} \forall x_{3} ( x_{1} + ( x_{2} + x_{3})) = (( x_{1} + x_{2}) +x_{3} )\) - ассоциативность;
    б) \(\forall x_{1} ( 0 + x_{1} = x_{1} )\) - свойства нуля;
    в) \(\forall x_{1} \exists x_{2} ( x_{1} + x_{2} = 0 )\) - существование обратного элемента;
    г) \(\forall x_{1} ( x_{1} = x_{1})\) - рефлексивность равенство;
    д) \(\forall x_{1} \forall x_{2} (( x_{1} = x_{2}) \rightarrow ( x_{2} = x_{1}) )\) - симметричность равенства;
    е) \(\forall x_{1} \forall x_{2} \forall x_{3} (( x_{1} = x_{2}) \rightarrow ( ( x_{2} = x_{3}) \rightarrow (x_{1} = x_{3})))\) - транзитивность равенства;
    ж) \(\forall x_{1} \forall x_{2} \forall x_{3} (( x_{2} = x_{3}) \rightarrow ( (x_{1} + x_{2} = x_{1} + x_{3}) \wedge (x_{2} + x_{1} =x_{1} + x_{3}))\) - подстановочность равенства.
    Всякая модель этой теории называется групповой. Если в группе истинна формула \(\forall x_{1} \forall x_{2} (x_{1} + x_{2} = x_{2} + x_{1} )\), то группа называется абелевой или коммутативной.
    Примерами групп являются:
    1) множество всех взаимно однозначных отображений множества \(M\) на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений;
    2) множество \(Z\) всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел;
    3) множество \(V_{2}\) всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма;
    4) пространство \(R_{2}^{n}\) всех векторов \(n\)-мерного пространства с операцией сложения векторов, определяемой как покоординатно сложение;
    5) \(C_{\left[a,b \right]}\) - пространство непрерывных на \(\left[a,b \right]\) функций \(f\) с нормой \(\left|\left|f \right| \right| = \max_{a \leq x\leq b} \left|f(x) \right|\) и обычной операцией сложения.
    Теория частичноrо упорядочения и теория групп являются эффективно аксиоматизированными, то есть имеется возможность для любой данной формулы эффективно выяснить, принадлежит ли она к числу логических аксиом.
    3. Аффинная геометрия.
    Первичными терминами этой теории являются: множество \(\rho\) (элементы которого, называемые точками, будут обозначаться прописными латинскими буквами \(P,Q, ...\)), множество \(L\) (элементы которого, называемые прямыми, будут обозначаться строчными латинскими буквами \(l, m, ...\)) и множество \(J\), называемое отношением инцидентности.
    Специальными аксиомами теории \(T\) здесь являются формулы:
    а)а) \(J \subseteq P \times L ( \epsilon J)\) читается "\(P\) лежит на \(l\)", или "\(l\) содержит \(P\)", или "\(l\) проходит через \(P\)", или "\(P\) и \(l\) инциденты".
    б)Для любых двух различных точек \(P\) и \(Q\) существует в точности одна прямая, проходящая через \(P\) и \(Q\).
    (Будем обозначать такую прямую через \(P + Q\)).
    в) Для любой точки \(P\) и любой прямой \(l\) существует в точности одна прямая \(m\), проходящая через \(P\) и параллельная прямой \(l\) (то есть либо \(m=l\), либо не существует точек, лежащих на обеих прямых \(l\) и \(m\)).
    г) Если \(A , B, C, D, E \), и \(F\) - шесть различных точек, причем \(A+B\) параллельна \(C+D\), \(C+D\) параллельна \(E+F\) , \(A+C\) параллельна \(B+D\) и \(C+E\) параллельна \(D+E\), то \(A+E\) параллельна и \(B+F\) .
    д) Существует три различных точки, не лежащие на одной прямой.
    4. Геометрия (теория равенства отрезков).
    Первичные термины: множество \(S\) - множество всех отрезков, и "=" - отношение равенства, так что выражение "\(x=y\) " читается так: "отрезок \(x\) равен отрезку \(y\)".
    Специальные аксиомы:
    а) \(\forall x \epsilon S (x=x)\);
    б) \(\forall x \forall y \forall z ( (x=z) \wedge (y=z) \rightarrow (x=y ))\).
    5. Аксиоматическая теория натуральных чисел, построенная итальянским математиком Дж. Пеано.
    Первоначальные понятия: непустое множество \(N\), отношение следования " ' " и выделенный элемент 1.
    Специальные аксиомы:
    а) \(\forall x \varepsilon N (x^{'} \neq 1)\);
    б) \(\forall x \forall y \varepsilon N (x=y \rightarrow x^{'} = y^{'})\);
    в) \(\forall x \forall y \varepsilon N (x^{'} = y^{'} \rightarrow x=y )\);
    г) Пусть \(M \subset N\). Тогда \(( 1 \epsilon M) \wedge ( \forall x \epsilon M \rightarrow x^{'} \epsilon M ) \rightarrow M=N\).

    Доказательство в широком смысле этого слова есть способ обоснования истинности некоторого суждения. Степень убедительности доказательства решающим образом зависит от средств, используемых для обоснования истинности.
    Так, в точных науках выработаны определенные требования к эксперименту, при которых факт, полученный в результате эксперимента, может считаться доказанным. В математике, для которой характерен аксиоматический метод, взгляд на доказательство определяется взглядом на аксиоматическую теорию. Слово "теория" понимается здесь в определенном специальном смысле. Термин "теория" применяют по отношению к двум множествам высказываний, одно из которых есть собственное подмножество другого. Большое (объемлющее) множество высказываний определяет предметную область теории, элементы же меньшего (охватывающего) множества высказываний - это высказывания теории, которые считаются в ней истинными или доказуемыми (или теоремами). Они определяются как высказывания, выводимые чисто логическим путем из некоторых заранее выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами.
    В аксиоматической теории понятию истинности нет места - понятие истинного высказывания имеет смысл лишь в связи с возможными приложениями теории.
    Доказательством называют конечную последовательность \(s_{1}, s_{2}, ... , s_{k}\) высказываний рассматриваемой теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода.
    Теоремой или доказуемым высказыванием называется высказывание, являющееся последним высказыванием некоторого доказательства.
    Ясно, что любая аксиома является теоремой, причем ее доказательство состоит из одного шага.
    Вывод высказывания \(C\) из пустоrо множества посылок есть, очевидно, доказательство высказывания \(C\).

---