Интегрирование рациональных функций. Примеры решения задач
Пример 1. Вычислить \(\int \frac{x-3}{x^{3}-x}dx\). Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби должно иметь вид $$\frac{x-3}{x^{3}-x}=\frac{x-3}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$$
Прежде всего нам нужно найти коэффициенты \(A, B, C\).
Освобождаясь от знаменателей, получим $$x-3=A(x^{2}-1)+Bx(x+1)+Cx(x-1).$$
Так как это - тождество, то коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) должны быть равны межу собой:
|
\(0=A+B+C\),
|
\(1=B-C\),
|
\(-3=-A\).
|
Из этой системы трех уравнений с тремя неизвестными находим
|
\(A=3\),
|
\(B=-1\),
|
\(C=-2\).
|
Итак, тождественно $$\frac{x-3}{x^{3}-x}=\frac{3}{x}-\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1},$$
поэтому $$\int \frac{x-3}{x^{3}-x}=3\int \frac{dx}{x}-\int \frac{dx}{x-1}-2\int \frac{dx}{x+1}=3\ln \left|x \right|-\ln \left|x-1 \right|-2\ln \left|x+1 \right|+C=\ln \left|\frac{x^{3}}{(x-1)(x+1)^{2}} \right|+C.$$
Пример 2. Вычислить \(\int \frac{x-5}{x^{3}-3x^{2}+4}dx\). Разложим знаменатель подынтегральной дроби на множители. Замечая, что он обращается в нуль при \(x=-1\), разделим его на \(x+1\); в частном получится \(x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}\) и, значит, разложение дроби на простейшие должно иметь вид $$\frac{x-5}{x^{3}-3x^{2}+4}=\frac{x-5}{(x+1)(x-2)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x-2)^{2}}+\frac{C}{x-2}.$$
Найдем коэффициенты \(A, B, C\). Приводя к общему знаменателю и освобождаясь от него получим $$x-5=A(x-2)^{2}+B(x+1)+C(x+1)(x-2).$$
Здесь удобно положить \(x=-1, x=2, x=0\); получаем
|
\(-6=9A\),
|
\(-3=3B\),
|
\(-5=4A+B-2C\).
|
Отсюда
|
\(A=-\frac{2}{3}\),
|
\(B=-1\),
|
\(C=\frac{2}{3}\).
|
Следовательно, $$\int \frac{x-5}{x^{3}-3x^{2}+4}dx=-\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x+1}-\int \frac{dx}{(x-2)^{2}}+\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x-2}=-\frac{2}{3}\ln \left|x+1 \right|+\frac{1}{x-2}+\frac{2}{3}\ln \left|x-2 \right|+C$$
Пример 3. Вычислить \(\int \frac{12}{x^{4}+x^{3}-x-1}dx\). Знаменатель легко раскладывается на множители: $$x^{4}+x^{3}-x-1=x^{3}(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^{3}-1)=(x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)$$
раскладываем подынтегральную функцию на простейшие:
$$\frac{12}{(x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1}.$$
Коэффициенты \(A, B, C, D\) находим из тождества $$12=A(x-1)(x^{2}+x+1)+B(x+1)(x^{2}+x+1)+(Cx+D)(x+1)(x-1).$$
Подставляя сюда четыре различных численных значения \(x\), например \(x=1\), \(x=-1\), \(x=0\), \(x=2\), получаем систему
|
\(12=6B\),
|
\(12=-A+B-D\),
|
|
\(12=-2A\),
|
\(12=7A+21B+3(2C+D)\)
|
из которой находим
|
\(A=-6\),
|
\(B=2\),
|
\(C=4\),
|
\(D=-4\).
|
Следовательно, $$\int \frac{12}{x^{4}+x^{3}-x-1}dx=-6\int \frac{dx}{x+1}+2\int \frac{dx}{x-1}+4\int \frac{x-1}{x^{2}+x+1}dx.$$
Последний интеграл в парвой части находим, выделяя в числителе производную знаменателя: $$\int \frac{x-1}{x^{2}+x+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x+1-3}{x^{2}+x+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx-\frac{3}{2}\int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\ln (x^{2}+x+1)-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}arctg\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+C.$$
Окончательно имеем $$\int \frac{12}{x^{4}+x^{3}-x-1}dx=-6\ln \left|x+1 \right|+2\ln \left|x-1 \right|+2\ln (x^{2}+x+1)-4\sqrt{3} arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C.$$
