Определенный интеграл. Теорема существования.
Решение многих важных задач геометрии и физики (определение площади, работы, массы, пути) приводит к одной и той же последовательности действий над известными функциями и их аргументами.
Если отвлечься от физического смысла переменных и от их обозначений, то указанная последовательность действий состоит в следующем:
1) Интервал \([a, b]\), в котором задана непрерывная функция \(f(x)\), разбивается на \(n\) частичных интервалов при помощи точек $$x_{0}=a,x_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n}=b.$$
2) Значение функции \(f(\xi _{i})\) в какой-нибудь точке \(\xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]\) умножается на длину этого интервала \(x_{i}-x_{i-1}\), т.е. составляется произведение \(f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1}).\)
3) Берется сумма \(I_{n}\) всех этих произведений $$I_{n}=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{2})(x_{2}-x_{1})+...+f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}$$
или, если обозначить \(x_{i}-x_{i-1}\) через \(\Delta x_{i}\),
|
$$I_{n}=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}.$$
|
(1) |
4) Находится предел \(I\) суммы \(I_{n}\) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала, и следовательно, при \(n\rightarrow \propto\), т.е. $$I=\lim I_{n}=\lim \sum_{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}.$$
В рассмотренных выше четырех конкретных задачах этот предел \(I\) измеряет соответственно площадь, работу, путь, массу. В общем слк=учае он называется определенным интегралом или просто интегралом от функции \(f(x)\) в пределах от \(a\) до \(b\) и обозначается так: $$I=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$
и читается: интеграл от от \(a\) до \(b\) \(f(x)\) на \(dx\). Следовательно, по определению $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim \sum_{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}.$$
Сумма (1) называется \(n\)-й интегральной суммой.
Определение. Определенным интегралом называется предел, к которому стремится \(n\)-я интегральная сумма (1) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.
Как и в неопределенном интеграле, функция \(f(x)\) - подынтегральная функция, выражение \(f(x)dx\) - подынтегральное выражение и переменная \(x\) - переменная интегрирования. Интервал \([a, b]\) называется интервалом интегрирования, число \(a\) - нижний, а число \(b\) - верхний пределы интеграла.
Сам процесс образования определенного интеграла показывает, что символ \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) есть некоторе число. Величина его зависит только от вида подынтегральной функции и от чисел \(a\) и \(b\), определяющих интервал интегрирования. Переменная интегрирования \(x\) служит лишь для удобного обозначения определенного интеграла; ничего не изменится, если переменную интегрирования обозначить другой буквой, например \(t\) или \(u\): $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}=\int_{a}^{b}{f(u)du}.$$
Внешняя общность записи определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними, хотя определенный интеграл есть число, а неопределенный интеграл - совокупность первообразных функций.
Итак, совершенно очевидный результат $$\int_{a}^{b}{dx}=b-a,$$ который следует из того, что любая интегральная сумма для функции \(f(x)\equiv 0\) равна \(b-a\): $$\sum_{i=1}^{n}{\Delta x_{i}}=x_{1}-x_{0}+x_{2}-x_{1}+...+x_{n}-x_{n-1}=x_{n}-x_{0}=b-a.$$
Применяя определение интеграла, можно сделать такие выводы:
1) Площадь криволинейной трапеции равна интегралу от ординаты линии, ограничивающей трапецию, взятому по основанию: $$s=\int_{a}^{b}{f(x)dx}.$$
2) Работа, произведенная силой, равна интегралу от силы, взятому по пути: $$A=\int_{0}^{S}{f(S)dS}.$$
3) Путь, пройденный телом, равен интегралу от скорости, взятому по времени: $$S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}{f(t)dt}.$$
4) Масса, распределенная на линии, равна интегралу от плотности, взятому по длине линии: $$m=\int_{0}^{s}{f(s)ds}.$$
Теорема существования определенного интеграла. Если функция \(f(x)\) непрерывна в замкнутом интервале \([a, b]\), то ее \(n\)-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Этот предел, т.е. определенный интеграл \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\), не зависит от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы и от выбора в них промежуточных точек.
Интегральные суммы, составленные при различных разбиениях интервала интегрирования и различных выборах точек \(\xi\), могут отличаться друг от друга весьма значительно. Сформулированная выше теорема показывает, что для непрерывных функций разница между этими суммами стирается по мере возрастания числа точек деления и убывания длины наибольшего частичного интервала, совсем исчезая в пределе.
