Пусть F(x,y,z) - непрерывная функция и z = f(x,y) - гладкая поверхность S, где f - задана в некоторой области и плоскости xOy. Повверхностый интеграл 1 рода вычисляется по формуле:

$$\int _S\int Fds=\int _D\int F(x,y,f(x,y)){\sqrt{1+(z_{x}^{'})^2+(z_{'}^{y})^2}dxdy}$$

---

Если P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) - непрерывные функции и \(S^+\) - сторона гладкой поверхности S, характерезуемая направлением пормали \(n=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma)\), то поверхностный интеграл 2 рода выражается как

$$\int _{S^+}\int Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\int _{S}(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$$

---

При переходе на другую сторону поверхности \(S^-\) интеграл меняет знак на противоположный. Если поверхность S задана уравнением в неявном виде Ф(x,y,z) = 0 , то направляющие косинусы нормали определяются по формулам:

$$\cos \alpha =\frac{\phi _{x}^{'}}{\sqrt[\pm ]{(\phi _{x}^{'})^2}+(\phi _{y}^{'})^2+(\phi _{z}^{'})^2}$$

$$\cos \beta =\frac{\phi _{y}^{'}}{\sqrt[\pm ]{(\phi _{x}^{'})^2}+(\phi _{y}^{'})^2+(\phi _{z}^{'})^2}$$

$$\cos \gamma =\frac{\phi _{z}^{'}}{\sqrt[\pm ]{(\phi _{x}^{'})^2}+(\phi _{y}^{'})^2+(\phi _{z}^{'})^2}$$

---