Приближенные методы интегрирования. Продолжение. Начало здесь
Применим формулу Симпсона к интегралу \(\int_{0}^{\pi }{\sin xdx}\), вычисленному раньше по формуле трапеций.
Простые подсчеты при \(n=6\) дают $$I\approx \frac{\pi }{18}(8+2\sqrt{3})\approx 2,001.$$
Относительная ошибка результата равна \(0,05\%\) - очень хорошая точность, достигнутая всего при шести точках деления интервала интегрирования.
Для интеграла \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^{2}}}\) по правилу Симпсона только при \(n=4\) найдем \(I\approx0,78539\) со всеми верными знаками. Пользуясь правилом трапеций мы получили для величины этого интеграла худший результат при значительно большем объеме вычислений.
Приведенные правила приближенного численного интегрирования позволяют находить интегралы не только от функций, заданных формулами, но и от функций, заданных геометрическим или табличным способом.
Пример 3. Ширина реки равна \(20\)м; промеры глубины в некотором поперечном ее сечении через каждые \(2\)м дали следующую таблицу:
|
x
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
20
|
|
y
|
0,2
|
0,5
|
0,9
|
1,1
|
1,3
|
1,7
|
2,1
|
1,5
|
1,1
|
0,6
|
0,2
|
Здесь расстояние (в метрах) от одного из берегов обозначено через \(x\), соответствующая глубина реки (также в метрах) - через \(y\). Требуеся найти площадь \(S\) поперечного сечения реки.
По формуле трапеций находим $$S=2(\frac{0,2+0,2}{2}+0,5+0,9+1,1+1,3+1,7+2,1+1,5+1,1+0,6)=22м^2;$$
по формуле Симпсона находим $$S=\frac{2}{3}\left[0,2+4\cdot 0,5+2\cdot 0,9+...+4\cdot 0,6+0,2 \right]=21,9м^2.$$
Результаты - весьма близкие. О точности их говорить не приходится, так как по условию задачи точный профиль реки не задан.
