Интегрирование тригонометрических функций. Примеры решения задач.

     Пример 1.

$$\int \frac{dx}{\sin x}$$

и

$$\int \frac{dx}{\cos x}$$

     Полагая \(u=tg\frac{x}{2}\), получим $$\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{1+u^{2}}{2u}\frac{2du}{1+u^{2}}=\int \frac{du}{u}=\ln \left|u \right|+C=\ln \left|tg\frac{x}{2} \right|+C,$$ $$\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{dx}{\sin (\frac{\pi }{2}+x)}=\ln \left|tg(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}) \right|+C.$$
     Пример 2.

$$\int \frac{dx}{3+5\cos x}.$$
     Полагаем \(u=tg\frac{x}{2}\). Тогда $$\int \frac{dx}{3+5\cos x}=\int \frac{2du}{(1+u^{2})(3+5\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}})}=\int \frac{du}{4-u^{2}}=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{2+u}{2-u} \right|+C=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{2+tg\frac{x}{2}}{2-tg\frac{x}{2}} \right|+C.$$
     Пример 3. $$\int \frac{dx}{\sin ^{2}x-3\cos ^{2}x}=\int \frac{du}{(1+u^{2})(\frac{u^{2}}{1+u^{2}}-\frac{3}{1+u^{2}})}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{u-\sqrt{3}}{u+\sqrt{3}} \right|+C=\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left|\frac{tgx-\sqrt{3}}{tgx+\sqrt{3}} \right|+C.$$
     Пример 4. $$\int \frac{dx}{1+2tgx}=\int \frac{du}{(1+u^{2})(1+2u)}.$$
     Находя интеграл от рациональной дроби и возвращаясь к старой переменной, получим $$\int \frac{dx}{1+2tg x}=\frac{1}{5}[x+2\ln \left|\cos x+2\sin x \right|]+C.$$
     Пример 5. $$\int \frac{\sin ^{5}x}{\cos ^{2}x}dx=\int \frac{\sin ^{4}x}{\cos ^{2}x}\sin x dx=-\int \frac{(1-u^{2})^{2}}{u^{2}}du,$$
     где \(u=\cos x\). Разбивая интеграл на сумму интегралов, интегрируя и возвращаясь к переменной \(x\), получим $$\int \frac{\sin ^{5}x}{\cos ^{2}x}dx=\frac{1}{\cos x}+2\cos x-\frac{\cos ^{3}x}{3}+C.$$
     Пример 6. $$\int \sin ^{2}x\cos ^{4}xdx=\int (\frac{1-\cos 2x}{2})(\frac{1+\cos 2x}{2})^{2}dx=\frac{1}{8}\int \sin ^{2}2x(1+\cos 2x)dx=\frac{1}{8}\int \frac{1-\cos 4x}{2}dx+\frac{1}{16}\int \sin ^{2}2x\cos 2xd(2x)=$$ $$=\frac{1}{16}x-\frac{1}{64}\sin 4x+\frac{1}{48}\sin ^{3}2x+C.$$
     Пример 7. $$\int \frac{dx}{\sin ^{3}x\cos x}=\int \frac{du}{(1+u^{2})\frac{u^{3}}{(1+u^{2})^{\frac{3}{2}}}\frac{1}{(1+u^{2})^{\frac{1}{2}}}}=\int \frac{1+u^{2}}{u^{3}}du=-\frac{1}{2u^{2}}+\ln \left|u \right|+C=-\frac{1}{2tg^{2}x}+\ln \left|tgx \right|+C.$$
     Пример 8. $$\int \frac{dx}{\sin ^{6}x}=\int \frac{(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)^{2}}{\sin ^{6}x}dx=\int \frac{dx}{\sin ^{2}x}+2\int \frac{ctg^{2}x}{\sin ^{2}x}dx+\int \frac{ctg^{4}x}{\sin ^{2}x}dx=-ctg x-\frac{2}{3}ctg^{3}x-\frac{1}{5}ctg^{5}x+C.$$
     Пример 9. $$\int \frac{dx}{\sin ^{3}x}=\int \frac{2du}{(1+u^{2})(\frac{2u}{1+u^{2}})^{3}}=-\frac{1}{8u^{2}}+\frac{1}{2}\ln \left|u \right|+\frac{u^{2}}{8}+C=-\frac{1}{8tg^{2}\frac{x}{2}}+\frac{1}{2}\ln \left|tg\frac{x}{2} \right|+\frac{tg^{2}\frac{x}{2}}{8}+C.$$
     Пример 10. $$I_{n}=\int \cos ^{n}x dx.$$
     Положим

$$dv=\cos x dx,$$

$$u=\cos ^{n-1}x.$$

     При этом

$$v=\sin x,$$

$$du=-(n-1)\cos ^{n-2}x\sin x dx$$

     и $$I_{n}=\sin x\cos ^{n-1}x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}xdx=\sin x\cos ^{n-1}x+(n-1)\int \cos ^{n-2}xdx-(n-1)\int \cos ^{n}xdx,$$
     откуда $$nI_{n}=\sin x\cos ^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}$$
     и, следовательно, $$I_{n}=\frac{1}{n}\sin x\cos ^{n-1}x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}.$$

---