Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Выяснение вопроса о сходимости несобственных интегралов значительно усложняется, если первообразная функция известна. В таких случаях иногда удается установить сходится или расходится интеграл, пользуясь специальными признаками, не требующими знания первообразной. Будем для определенности говорить об интегралах вида \(\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}\); признаки сходимости для интегралов \(\int_{-\propto}^{a}{f(x)dx}\) формулируются совершенно аналогично.
I. Начнем со случая, когда подынтегральная функция \(f(x)\) во всех точках \([a, \propto)\) неотрицательна: \(f(x)\geq 0\). Геометрически ясно, что \(I(\eta)=\int_{a}^{\eta }{f(x)dx}\) с возрастанием \(\eta\) будет возрастать (если есть интервалы, в которых \(f(x)\equiv 0\), то в них \(I(\eta)\) постоянна). По признаку существования предела, если возрастающая функция ограничена, то она имеет предел. Поэтому, если только нам известно, что \(I(\eta)\) ограничена: \(I(\eta)\leq M\), где \(M\) - некоторая постоянная, то уже можно сказать, что несобственный интеграл \(\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}\) сходится и его величина не превосходит \(M\). При этом, разумеется, мы еще не знаем, чему этот интеграл равен; вычисление несобственных интегралов, когда первообразная неизвестна, гораздо сложнее установления их сходимости, и производится специальными приемами.
С помощью сказанного легко доказать следующий признак.
Признак сравнения. Пусть для всех значений \(x\) выполняется неравенство
|
$$0\leq f(x)\leq \varphi (x).$$
|
(1) |
Тогда: 1) если сходится интеграл \(\int_{a}^{\propto }{\varphi (x)dx}\), то сходится и \(\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}\);
2) если расходится интеграл \(\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}\), то расходится и \(\int_{a}^{\propto }{\varphi(x)dx}\).
Доказательство. Предположим, что интеграл \(\int_{a}^{\propto }{\varphi(x)dx}\) сходится и равен \(M\); тогда \(\int_{a}^{\eta }{\varphi (x)dx}\leq M\) для любого \(\eta\). По теореме об интегрировании неравенств $$\int_{a}^{\eta }{f(x)dx}\leq \int_{a}^{\eta}{\varphi (x)dx}\leq M.$$
Это значит, что \(I(\eta )=\int_{a}^{\eta }{f(x)dx}\) есть ограниченная функция и интеграл \(\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}\) сходится.
Если дано, что интеграл \(\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}\) расходится, то возрастающая функция \(\int_{a}^{\eta}{f(x)dx}\) стремится к бесконечности; но так как \(\int_{a}^{\eta}{\varphi(x)dx}\geq \int_{a}^{\eta }{f(x)dx}\), то и функция \(\int_{a}^{\eta}{\varphi(x)dx}\) тоже стремится к бесконечности, т.е. \(\int_{a}^{\propto }{\varphi(x)dx}\) расходится. Признак полностью доказан.
Совсем не обязательно считать, что неравенство (1) выполняется во всем интервале \([a, \propto)\). Признак остается справедливым, если это неравенство соблюдается для всех \(x\geq b>a\). Тогда с помощью признака сравнения исследуем интеграл в интервале \([b, \propto )\). Добавление же затем постоянной величины - интеграла в пределах от \(a\) до \(b\), - очевидно, не нарушит сходимости или расходимости интеграла.
Наибольшая трудность исследования данного несобственного интеграла \(\int_{a}^{\propto }{f(x)dx}\) с помощью признака сравнения заключается в том, что нам заранее неизвестно, с чем же сравнивать подынтегральную функцию. Поэтому, чтобы применять признак, нужно иметь некоторый запас функций, относительно интегралов от которых было бы известно, сходятся они или расходятся. Легко, например, проверить, что интегралы от функций \(y=e^{-kx}\) при \(k>0\) сходятся в любом интервале \([a, \propto)\), а при \(k\leq 0\) расходятся.
Так как при \(x>1\) имеет место неравенство \(e^{-x}>e^{-x^{2}}\), то интеграл \(\int_{1}^{\propto }{e^{-x^{2}}dx}\) сходится. Согласно замечанию, сделанному чуть выше, сходится и интеграл \(\int_{0}^{\propto }{e^{-x^{2}}dx}\), а так как подынтегральная функция четная, то и интеграл \(\int_{-\propto }^{0}{e^{-x^{2}}dx}\).
Интеграл \(\int_{-\propto }^{+\propto }{e^{-x^{2}}dx}\) называется интегралом Пуассона и играет очень важную роль в теории вероятностей. Итак, значение этого интеграла $$\int_{-\propto }^{+\propto }{e^{-x^{2}}dx}=\sqrt{\pi }.$$
В качестве функций сравнения очень часто применяются степенныы функции \(y=\frac{1}{x^{m}}\), относительно которых докажем следующее.
Несобственный интеграл \(\int_{a}^{\propto }{\frac{dx}{x^{m}}}\), где \(a>0\), сходится при \(m>1\) и расходится при \(m\leq 1\). (Ясно, что интересен только случай \(m>0\), потому что при \(m<0\) подынтегральная фугкция стремится к бесконечности при \(x\rightarrow \propto\) и интеграл от нее заведомо расходится.)
При \(m\neq 1\) имеем $$\int_{a}^{\propto }{\frac{dx}{x^{m}}}=\frac{x^{-m+1}}{-m+1}\mid _{a}^{\propto }.$$
Если \(m>1\), то показатель степени \(1-m<0\) и первообразная стремится к нулю при \(x\rightarrow \propto\); интеграл сходится. Если же \(m<1\), то \(1-m>0\) и первообразная стремится к бесконечности при \(x\rightarrow \propto\), т.е. интеграл расходится. Расходимость интеграла при \(m=1\) установлена в примере здесь.
Пример 1. $$\int_{a}^{\propto }{\frac{dx}{\sqrt{1+x}\sqrt[3]{1+x^{2}}}}$$
Этот интеграл сходится, так как неравенство $$\frac{1}{\sqrt{1+x}\sqrt[3]{1+x^{2}}}<\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$$
справедливо при всех \(x\geq 1\) и интеграл \(\int_{1}^{\propto }{\frac{dx}{x^{\frac{7}{6}}}}\) сходится (\(m=\frac{7}{6}>1\)).
Пример 2. $$\int_{1}^{\propto }{\frac{\sqrt{x}}{1+x}dx}$$
Этот интеграл расходится, потому что $$\frac{\sqrt{x}}{1+x}>\frac{\sqrt{x}}{x+x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
при \(x>1\) и интеграл \(\int_{1}^{\propto }{\frac{dx}{\sqrt{x}}}\) расходится (\(m=\frac{1}{2}<1\)).
Признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Продолжение здесь
