Арифметическая прогрессия — числовая последовательность \((a_n)\), определяемая условиями: 1) \(a_1=a\); 2) \(a_{n+1}=a_n+d, \: n=1,2,\ldots\) (\(d\) — разность арифметической прогрессии).
Свойства арифметической прогрессии: $$a_{n+1}-a_n=a_{n+2}-a_{n+1},\; a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}.$$ Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+d(n-1)\).
Формулы суммы \(n\) первых членов: $$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2},\; \; S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n.$$

---

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность \((b_n)\), определяемая условиями: 1) \(b_1=b \; (b \neq 0)\); 2) \(b_{n+1}=b_nq \; (q \neq 0), \: n=1,2,\ldots\) (\(q\) — знаменатель геометрической прогрессии).
Свойства геометрическойпрогрессии: $$b_{n+1}/b_n=b_{n+2}/b_{n+1},\; b_{n+1}^2=b_nb_{n+2}.$$ Формула \(n\)-го члена: \(b_n=b_1+q^{n-1}\).
Формулы суммы \(n\) первых членов \((q \neq 1)\): $$S_n=\frac{b_nq-b_1}{q-1},\; \; S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}n.$$ Сумма бесконечной геометрической прогрессии: $$b+bq+bq^2+\ldots=b/{(1-q)},\; \left|q \right|<1.$$

---