Простейшие свойства определенного интеграла.

     Теорема I (об интеграле суммы). Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: $$\int_{a}^{b}{(u+v+...+w)dx}=\int_{a}^{b}{udx}+\int_{a}^{b}{vdx}+...+\int_{a}^{b}{wdx},$$
где \(u+v+...+w\) - функции независимой переменной \(x\).
     Доказательство. Обозначим интеграл в левой части равенства через \(I\). По определению интеграла имеем $$I=\lim \sum_{i=1}^{n}{(u_{i}+v_{i}+...+w_{i})\Delta x_{i}}=\lim (\sum_{i=1}^{n}{u_{i}\Delta x_{i}+\sum_{i=1}^{n}{v_{i}\Delta x_{i}}+...+\sum_{i=1}^{n}{w_{i}\Delta x_{i}}}),$$
где \(u_{i}, v_{i},..., w_{i}\) - соответственно значения функций \(u, v,..., w\) в какой-нибудь точке интервала \([x_{i-1}, x_{i}]\), а \(\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}.\) Воспользовавшись теоремой о пределе суммы, будем иметь $$I=\lim \sum_{i=1}^{n}{u_{i}\Delta x_{i}}+\lim \sum_{i=1}^{n}{v_{i}\Delta x_{i}}+...+\lim \sum_{i=1}^{n}{w_{i}\Delta x_{i}},$$
т.е. $$I=\int_{a}^{b}{udx}+\int_{a}^{b}{vdx}+...+\int_{a}^{b}{wdx},$$
что и требовалось доказать.

     Теорема II (о вынесении постоянного множителя). Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за символ интеграла $$\int_{a}^{b}{cudx}=c\int_{a}^{b}{udx},$$
где \(u\) - функция аргумента \(x\), \(c\) - константа.
     Доказательство. Обозначим интеграл в левой части равенства через \(I\). По определению интеграла имеем $$I=\lim \sum_{i=1}^{n}{cu_{i}\Delta x_{i}}.$$
Вынося постоянную \(c\) сначала за знак суммы, а потом за символ предела, получим $$I=\lim c\sum_{i=1}^{n}{u_{i}\Delta x_{i}}=c\lim \sum_{i=1}^{n}{u_{i}\Delta x_{i}}=c\int_{a}^{b}{udx},$$
что и требовалось доказать.

---