Логарифм положительного числа \(y\) с основанием \(a\) есть показатель степени \(x\), к которой необходимо поднести \(a\), чтобы получить \(y\):

$$\log_a y=x \Leftrightarrow a^x=y, (a>0,a\neq1).$$

Основное логарифмическое тождество:

$$a^{\log_a y}=y.$$

Свойства логарифмов:

$$1) \log_a a=1,$$

$$2) \log_a 1=0,$$

$$3) \log_a xy=\log_a|x|+\log_a|y|, (xy>0),$$

$$4) \log_a \frac{x}{y}=\log_a|x|-\log_a|y|, (xy>0),$$

$$5) \log_a x^{2n+1}=(2n+1)\log_ax, (x>0, n \in N),$$

$$6) \log_a x^{2n}=2n\log_a|x|, (x\neq0, n \in N),$$

$$7) \log_{a^k} x=\frac{1}{k}\log_ax, (x>0, k \in N, k\neq0),$$

$$8) \log_ax=\log_{a^k} x^k, (x>0, k \in N, k\neq0),$$

$$9) \log_ax =\frac{\log_bx}{\log_ba}, (x>0, a>0, b>0, a\neq1, b\neq1),$$

$$10) \log_ab =\frac{1}{\log_ba}, (a>0, b>0, a\neq1, b\neq1).$$

Десятичный логарифм \(\lg a=\log_{10}a\) - логарифм по основанию 10.

Натуральный логарифм \(\ln a=\log_ea\) - логарифм по основанию \(e\approx2,718\).

---