Оценка интеграла. Теорема о среднем. Среднее значение функции. Продолжение. Начало здесь
Среднее арифметическое значение функции. Значение \(f(\xi)\), находимое по теореме о среднем, называется средним арифметическим значением функции \(f(x)\) в интервале \([a,b]\).
Определение. Средним арифметическим значением \(y_{cp}\) непрерывной функции \(y=f(x)\) в интервале \([a,b]\) называется отношение определенного интеграла от этой функции к длине интервала: $$y_{cp}=\frac{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}{b-a}.$$
Приведем некоторые соображения в обоснование этого определения.
Пусть некоторая величина \(y\) принимает \(n\) значений \(y_{1},y_{2},...,y_{n}.\) Средним арифметическим значением этой величины называется частное \(\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n},\)
Но что следует принять в качестве среднего значения непрерывной функции \(y=f(x)\) в некотором интервале \([a,b]\)?
Разобьем интервал \([a,b]\) на \(n\) равных частичных интервалов и возьмем значения функции в серединах этих интервалов - точках \(\xi _{i}\): $$f(\xi _{1}), f(\xi _{2}), ... , f(\xi _{n}).$$
При таком выборе точек \(\xi _{i}\) значения функции берутся через равные промежутки; именно так обычно поступают при всякого рода измерениях. Возьмем среднее арифметическое \(\eta _{n}\) указанных значений: $$\eta _{n}=\frac{f(\xi _{1})+f(\xi _{2})+...+f(\xi _{n})}{n}.$$
Ясно, что чем больше \(n\), тем больше, значений функции учитывается при отыскании среднего значения, и поэтому естественно за среднее значение \(y_{cp}\) функции принять предел, к которому стремится \(\eta _{n}\) при \(n\rightarrow\propto\). Найдем этот предел.
Умножив и разделив выражение \(\eta _{n}\) на \(b-a\), получим $$\eta _{n}=\frac{1}{b-a}[f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})+\Delta x_{2}+...+f(\xi _{n})\Delta x_{n}],$$
где \(\Delta x_{1}=\Delta x_{2}=...=\Delta x_{n}=\frac{b-a}{n}.\) Преходя к переделу при \(n\rightarrow\propto\) (при этом \(\Delta x\rightarrow 0\), поучаем указанное выше выражение для среднего значения $$y_{cp}=\lim \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}.$$
На основании теоремы о среднем заключаем, что \(y_{cp}=f(\xi)\), где \(\xi \in (a,b)\). Среднее значение непрерывной функции в интервале всегда (если только функция не постоянная) меньше некоторых ее значений, больше других ее значений и равно хотя бы одному ее значению
Понятие среднего значения функции очень употребительно в технике. Многие величины часто характеризуются своими средними значениями; таковы, например, давление пара, мощность переменного тока, скорость химической реакции и т.п.
