Числовые характеристики системы нескольких случайных величин

    Закон распределения системы (заданный функцией распределения или плотностью распределения) является полной, исчерпывающей характеристикой системы нескольких случайных величин. Однако очень часто такая исчерпывающая характеристика не может быть применена. Иногда ограниченность экспериментального материала не дает возможности построить закон распределения системы. В других случаях исследование вопроса с помощью сравнительно громоздкого аппарата законов распределения не оправдывает себя в связи с невысокими требованиями к точности результата. Наконец, в ряде задач примерный тип закона распределения (нормальный закон) известен заранее и требуется только найти его характеристики.
    Во всех таких случаях вместо законов распределения применяют неполное, приближенное описание системы случайных величин с помощью минимального количества числовых характеристик.
    Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система \(n\) случайных величин \(X_{1}, X_{2},…, X_{n}\) сводится к следующему:
    1) \(n\) математических ожиданий

$$m_{1}, m_{2},...,m_{n}$$ характеризующих средние значения величин;
    2) \(n\) дисперсий $$D_{1}, D_{2},...,D_{n}$$ характеризующих их рассеивание;
    3) \(n(n — 1)\) корреляционных моментов $$K_{ij}=M[\dot{X_{i}}\dot{X_{j}}]$$ Где $$\dot{X_{i}}=X_{i}-m_{i}$$ $$\dot{X_{j}}=X_{j}-m_{j}$$ характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.
    Заметим, что дисперсия каждой из случайных величин \(X_{t}\) есть, по существу, не что иное, как частный случай корреляционного момента, а именно корреляционный момент величины \(X_{i}\) и той же величины \(X_{i}\): $$D_{i}=K_{ii}=M[\dot{X_{i}^{2}}]=M[\dot{X_{i}}\dot{X_{i}}]$$     Все корреляционные моменты и дисперсии удобно расположить в виде прямоугольной таблицы (так называемой матрицы): $$\left[ \matrix {K_{11} & K_{12} &...& K_{1n} \\ K_{21} & K_{22}&...& K_{2n}\\ K_{n1} &K_{n2} &...& K_{nn}}\right]$$     Эта таблица называется корреляционной матрицей системы случайных величин \(X_{1}, X_{2},…, X_{n}\).
    Из определения корреляционного момента ясно, что \(K_{ij} = K_{ji}\), т. е. элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично по отношению к главной диагонали, равны. В связи с этим часто заполняется не вся корреляционная матрица, а лишь ее половина, считая от главной диагонали: $$\left[ \matrix {K_{11} & K_{12} &...& K_{1n} \\ & K_{22}&...& K_{2n}\\ & &...&... \\ & & & K_{nn}}\right]$$     Корреляционную матрицу, составленную из элементов \(K_{ij}\), часто сокращенно обозначают символом \(||K_{ij}||\).
    По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин \(X_{1}, X_{2},…, X_{n}\).
    В случае, когда случайные величины \(X_{1}, X_{2},…, X_{n}\) не коррелированны, все элементы корреляционной матрицы, кроме диагональных, равны нулю: $$||K_{ij}||=\left[ \matrix {D_{1} & 0 &...& 0 \\ & D_{2}&...& 0 \\ & &...&... \\ & & & D_{n}}\right]$$     Такая матрица называется диагональной.
    В целях наглядности суждения именно о коррелированно с т и случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто вместо корреляционной матрицы \(||K_{ij}||\) пользуются нормированной корреляционной матрицей \(||r_{ij}||\), составленной не из корреляционных моментов, а из коэффициентов корреляции: $$r_{ij}=\frac{K_{ij}}{\sigma _{i}\sigma _{j}}$$ Где $$\sigma _{i}=\sqrt{D_{i}}$$ $$\sigma _{j}=\sqrt{D_{j}}$$     Введем понятие о некоррелированных системах случайных величин (иначе — о некоррелированных случайных векторах). Рассмотрим две системы случайных величин:
\(X_{1}, X_{2},…, X_{n}\)  \(Y_{1}, Y_{2},…, Y_{n}\)
    или два случайных вектора в \(n\)-мерном пространстве: \(\vec{X}\) с составляющими \(X_{1}, X_{2},…, X_{n}\) и \(\vec{Y}\) с составляющими \(Y_{1}, Y_{2},…, Y_{n}\) Случайные векторы \(\vec{X}\) и \(\vec{Y}\) называются некоррелированными, если $$K_{x_{i}y_{j}}=M[\dot{X_{i}}\dot{Y_{j}}]$$ каждая из составляющих вектора \(\vec{X}\) не коррелирована с каждой из составляющих вектора \(\vec{Y}\).

---