Формула полной вероятности

    Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.
    Пусть требуется определить вероятность некоторого события, которое может произойти вместе с одним из событий:

$$H_{1}, H_{2},..., H_{n}$$ образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.
    Докажем, что в этом случае $$P(A)=\sum_{i=1}^{n}{P(H_{i}P(A|H_{i}))},$$ т.е. вероятность события \(A\) вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
    Эта формула называется формулой полной вероятности.
    Доказательство. Так как гипотезы \(H_{1}, H_{2},..., H_{n}\) образуют полную группу, то событие \(A\) может появится только в комбинации с какой-либо их этих гипотез: $$A=H_{1}A+H_{2}A+...+H_{n}A.$$     Так как гипотезы \(H_{1}, H_{2},..., H_{n}\) несовместны, то и комбинации \(H_{1}A+H_{2}A+...+H_{n}A\) также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: $$P(A)=P(H_{1}A)+P(H_{2}A)+...+P(H_{n}A)=\sum_{i=1}^{n}{H_{i}A}$$ Применяя к событию \(H_{i}A\) теорему умножения, получим: $$P(A)=\sum_{i=1}^{n}{P(H_{i})P(A|H_{i})},$$ что и требовалось доказать.

    Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; а первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает их неё шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белый.
    Решение. Рассмотри три гипотезы:
\(H_{1}\) - выбор первой урны,
\(H_{2}\)- выбор второй урны,
\(H_{3}\)- выбор третьей урны
и событие \(A\) - появление белого шара.
    Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможные, то

$$P(H_{1})=P(H_{2})=P(H_{3})=\frac{1}{3}.$$ Условные вероятности события \(A\) при этих гипотезах соответственно равны:
\(P(A|H_{1})=\frac{2}{3};\)   \(P(A|H_{2})=\frac{3}{4};\)   \(P(A|H_{3})=\frac{1}{2};\)
По формуле полной вероятности $$P(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{23}{36}$$

    Пример 2. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна \(0,4\), при втором - \(0,5\), при третьем - \(0,7\). Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью \(0,2\), при двух попаданиях с вероятностью \(0,6\). Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.
    Решение. Рассмотрим четыре гипотезы:
\(H_{0}\) - в самолете не попало ни одного снаряда,
\(H_{1}\) - в самолет попал один снаряд,
\(H_{2}\) - в самолет попало два снаряда,
\(H_{3}\) - в самолет попало три снаряда.
    Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:

$$P(H_{0})=0,6\cdot 0,5\cdot 0,3=0,09;$$ $$P(H_{1})=0,4\cdot 0,5\cdot 0,3+0,6\cdot 0,5\cdot 0,3+0,6\cdot 0,5\cdot 0,7=0,36;$$ $$P(H_{2})=0,\cdot 0,5\cdot 0,7+0,4\cdot 0,5\cdot0,7+0,4\cdot 0,5\cdot 0,3=0,41;$$ $$P(H_{3})=0,4\cdot 0,5\cdot 0,7=0,14.$$     Условные вероятности события \(A\) при этих гипотезах равны: \(P(A|H_{0})=0\);  \(P(A|H_{1})=0,2\);  \(P(A|H_{2})=0,6\);  \(P(A|H_{3})=1,0\).
    Применяя формулу полной вероятности, получим: $$P(A)=P(H_{0})P(A|H_{0})+P(H_{1})P(A|H_{1})+P(H_{2})P(A|H_{2})+P(H_{3})P(A|H_{3})=$$$$=0,36\cdot 0,2+0,41\cdot 0,6+0,14\cdot 1,0=0,458.$$     Заметим, что первую гипотезу \(H_{0}\) можно было бы не вводить в рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

---