Функция распределения

    Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события \(X=x\), а вероятностью события \(X< x\), где \(x\) - некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от \(x\), есть некоторая функция от \(x\). Эта функция называется функцией распределения случайной величины \(X\) и обозначается \(F(x)\):

$$F(x)=P(X< x)$$     Функцию распределения \(F(x)\) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
    Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

    Сформулируем некоторый общие свойства функции распределения .
1. Функция распределения \(F(x)\) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при \(x_{2}>x_{1}\) \(F(x_{2})\geq F(x_{1})\).
2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: \(F(-\infty )=0\).
3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице \(F(+\infty )=1\).
    Рассмотрим случайную величину \(X\) как случайную точку \(X\) на оси \(Ox\), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения \(F(x)\) есть вероятность того, что случайная точка \(X\) в результате опыта попадет левее точки \(x\).
    Будем увеличивать \(x\), т.е. перемещать точку \(x\) вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка \(X\) попадет левее \(x\), не может уменьшится; следовательно, функция распределения \(F(x)\) с возрастанием \(x\) убывать не может.
    Чтобы убедиться в том, что \(F(-\infty )=0\), будем неограниченно перемещать точку \(x\) влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки \(X\) левее \(x\) в пределе становится невозможным событием; естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю, т.е. \(F(-\infty )=0\).
    Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку \(x\) вправо, убеждаемся, что \(F(+\infty )=1\), так как событие \(X< x\) становится в пределе достоверным.
    График функции распределения \(F(x)\) в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис.1), значения которой начинаются от \(0\) и доходят до \(1\), причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

Рис.1
    Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно, $$F(x)=P(X< x)=\sum_{x_{i}< x}{P(X=x_{i})}$$     где неравенство \(x_{i}< x\) под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения \(x_{i}\), которые меньше \(x\).
    Когда текущая переменная \(x\) проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины \(X\), функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

---