Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий

     Для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, сними связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему таких косвенных методов, пользование которыми позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму.
     Применяя эти косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными теоремами теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей.
     Перед тем как формулировать и доказывать основные теоремы, введем некоторые понятия, а именно понятия о сумме событий и произведении событий.
     Суммой двух событий \(A\) и \(В\) называется событие \(С\), состоящее в выполнении события \(А\) или события \(В\), или обоих вместе.
     Например, если событие \(А\) – попадание в цель при первом выстреле, событие \(В\) – попадание в цель при втором выстреле, то событие \(С=А+В\) есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – первом, при втором или при обоих вместе.
     Если события \(А\) и \(В\) несовместны, то естественно, что появление обоих этих событий вместе отпадает, и сумма событий \(А\) и \(В\) сводится к появлению или события \(А\), или события \(В\). Например, если событие \(А\) – появление карты червовой масти при вынимании карты из колоды, событие \(В\) – появление карты бубновой масти, то \(С=А+В\) есть появление карты красной масти, безразлично – червовой или бубновой.
     Суммой двух событий \(А\) и \(В\) называется событие \(С\), состоящее в появлении хотя бы одного из событий \(А\) и \(В\).
     Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
     Например, если опыт состоит в пяти выстрелах по мишени и даны события:
\(A_{0}\) – ни одного попадания,
\(A_{1}\) – ровно одно попадание,
\(A_{2}\) – ровно два попадания,
\(A_{3}\) – ровно три попадания,
\(A_{4}\) – ровно четыре попадания,
\(A_{5}\) – ровно пять попаданий,

$$A=A_{0}+A_{1}+A_{2}$$ есть событие «не более двух попаданий», а $$B=A_{3}+A_{4}+A_{5}$$ есть событие «не менее трех попаданий».
     Произведением двух событий \(А\) и \(В\) называется событие \(С\), состоящее в совместном выполнении события \(А\) и события \(В\).
     Например, если событие \(А\) – появление туза при вынимании карты из колоды, событие \(В\) – появление карты бубновой масти, то событие \(С=АВ\) есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие \(А\) – попадание при первом выстреле, событие \(В\) – попадание при втором выстреле, то \(С=АВ\) есть попадание при обоих выстрелах.
     Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
     Например, если по мишени производится три выстрела и рассматриваются события
\(B_{1}\)– промах при первом выстреле,
\(B_{2}\) – промах при втором выстреле,
\(B_{3}\) – промах при третьем выстреле,
то событие $$B=B_{1}B_{2}B_{3}$$ cостоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.
     При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинации более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий.
     Например, пусть по мишени производится три выстрела и рассматриваются следующие элементарные события:
\(A_{1}\) – попадание при первом выстреле,
\(\bar{A_{1}}\) – промах при первом выстреле,
\(A_{2}\) – попадание при втором выстреле,
\(\bar{A_{2}}\) – промах при втором выстреле,
\(A_{3}\) – попадание при третьем выстреле,
\(\bar{A_{3}}\) – промах при третьем выстреле.
     Рассмотрим более сложное событие В, состоящее в том, что в результате данных трех выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие В можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий: $$B=A_{1}\bar{A_{2}}\bar{A_{3}}+\bar{A_{1}}A_{2}\bar{A_{3}}+\bar{A_{1}}\bar{A_{2}}A_{3}$$      Событие С, состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлена в виде: $$C=A_{1}A_{2}\bar{A_{3}}+A_{1}A_{2}A_{3}+\bar{A_{1}}A_{2}A_{3}+A_{1}A_{2}A_{3}$$

---