Система произвольного числа случайных величин

    На практике часто приходится рассматривать системы более чем двух случайных величин. Эти системы интерпретируются как случайные точки или случайные векторы в пространстве того или иного числа измерений.
    Приведем примеры.
1. Точка разрыва дистанционного снаряда в пространстве характеризуется тремя декартовыми координатами \((X, У, Z)\) или тремя сферическими координатами \((R, \Phi ,\Theta )\)
2. Совокупность \(n\) последовательных измерений изменяющейся величины \(X\) — система п случайных величин \((X_{1}, X_{2},...,X_{n})\).
3. Производится стрельба очередью из \(n\) снарядов. Совокупность координат \(n\) точек попадания на плоскости — система 2-x случайных величин (абсцисс и ординат точек попадания):

$$(X_{1}, X_{2},...,X_{n}, Y_{1}, Y_{2},...,Y_{n}).$$ 4. Начальная скорость осколка — случайный вектор, характеризуемый тремя случайными величинами: величиной скорости \(V_{0}\) и двумя углами \(\Phi ,\Theta\), определяющими направление полета осколка в сферической системе координат.
    Полной характеристикой системы произвольного числа случайных величин служит закон распределения системы, который может быть задан функцией распределения или плотностью распределения.
    Функцией распределения системы \(n\) случайных величин \((X_{1}, X_{2},...,X_{n})\) называется вероятность совместного выполнения \(n\) неравенств вида \(X_{i} < x_{i}\) $$f(x_{1}, x_{2},..., x_{n})= P((X_{1} < x_{1})(X_{2} < x_{2})...(X_{n} < x_{n}))$$     Плотностью распределения системы \(n\) непрерывных случайных величин называется - \(n\)-я смешанная частная производная функции F(x_{1}, x_{2},..., x_{n}) взятая один раз по каждому аргументу: $$f(x_{1}, x_{2},..., x_{n})=\frac{\partial ^{n}F(x_{1}, x_{2},..., x_{n})}{\partial x_{1}\partial x_{2}...\partial x_{n}}$$     Зная закон распределения системы, можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Функция распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если в функции распределения системы положить все остальные аргументы равными \( \infty\): $$F(x_{1})=F(x_{1}, \infty ,..., \infty )$$     Если выделить из системы величин \((X_{1}, X_{2},...,X_{n})\) частную систему \((X_{1}, X_{2},...,X_{k})\), то функция распределения этой системы определяется по формуле: $$F_{1,2,...,k}(x_{1}, x_{2},..., x_{k})=F(x_{1}, x_{2},..,x_{k}, \infty,..., \infty)$$     Плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по всем остальным аргументам: $$f_{1}(x_{1})=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x_{1}, x_{2},..,x_{k})}dx_{2}...dx_{n}$$     Условным законом распределения частной системы \((X_{1}, X_{2},...,X_{k})\) называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что остальные величины \((X_{k+1},…,X_{k})\) приняли значения \((x_{k+1},…,x_{k})\).
    Условная плотность распределения может быть вычислена по формуле: $$f(x_{1},...,x_{k}|x_{k+1},...,x_{n})=\frac{f(x_{1}, x_{2},..., x_{n})}{f_{k+1,...,n}(x_{k+1},...,x_{n})}$$     Случайные величины \((X_{1}, X_{2},...,X_{n})\) называются независимыми, если закон распределения каждой частной системы, выделенной из системы \((X_{1}, X_{2},...,X_{n})\) не зависит от того, какие значения приняли остальные случайные величины.
    Плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему: $$f(x_{1}, x_{2},..., x_{n})=f_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2}),..,f_{n}(x_{n})$$     Вероятность попадания случайной точки \((X_{1}, X_{2},...,X_{n})\) в пределы \(n\)-мерной области \(D\) выражается \(n\)-кратным интегралом.

---