Теорема сложения вероятностей

    Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)$$     Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев.
    Пусть возможные исходи опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы представим в виде \(n\) точек. Предположим, что из этих случаев \(m\) благоприятны событию \(A\) ,а \(k\) -событию \(A\). Тогда
\(P(A)=\frac{m}{n};\)   \(P(B)=\frac{k}{n}\)
     Так как события \(A\) и \(B\) несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны и \(А\), и \(В\) вместе. Следовательно, событию \(А+В\) благоприятны \(m+n\) случаев и $$P(A+B)=\frac{m+n}{n}$$      Подставляя полученные выражения в формулу \(P(A+B)=P(A)+P(B)\), получим тождество. Теорема доказана.
    Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Её удобно записать в виде: $$P(\sum_{i=1}^{n}{A_{i}})=\sum_{i=1}^{n}{P(A_{i})}$$.     Oтметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.
    Следствие 1.Если события \(А_{1}\), \(А_{2}\), ..., \(А_{n}\) образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: $$\sum_{i=1}^{n}{P(A_{i})}=1$$     Доказательство. Так как событие \(А_{1}\), \(А_{2}\), ..., \(А_{n}\) образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них - достоверное событие: $$P(A_{1}+A_{2}+...+A_{n})=1.$$     Так как \(А_{1}\), \(А_{2}\), ..., \(А_{n}\) - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей $$P(A_{1}+A_{2}+...+A_{n})=P(A_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{n})=\sum_{i=1}^{n}{P(A_{i})},$$ откуда $$\sum_{i=1}^{n}{P(A_{i})}=1,$$ что и требовалось доказать.
    Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о "противоположных событиях".
    Противоположными событиями называются два несовместнных события, образующих полную группу.
    Событие, противоположное событию \(A\), принято обозначить \(\bar{A}\).
    Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: $$P(A)+P(\bar{A})=1.$$     Это следствие есть частным случаем следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей.
    Пример 1. В лотерее \(1000\) билетов; из них на один билет падает выигрыш \(500\) руб., на \(10\) билетов - выигрыши по \(100\) руб., на \(50\) билетов - выигрыши по \(20\) руб., на \(100\) билетов - выигрыши по \(5\) руб., остальные билеты не выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее \(20\) руб.
    Решение. Рассмотрим события:
\(A\) - выиграть не менее \(20\) руб.,
\(A_{1}\) - выиграть \(20\) руб.,
\(A_{2}\) - выиграть \(100\) руб.,
\(A_{3}\) - выиграть \(500\) руб.
Очевидно, $$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}.$$ По теореме сложения вероятностей $$P(A)=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})=0,050+0,010+0,001=0,061.$$

---