Закон Пуассона

    Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который называется законом Пуассона.
     Рассмотрим прерывную случайную величину \(X\), которая может принимать только целые, неотрицательные значения:

$$0, 1, 2,..., m,...$$ причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.
    Говорят, что случайная величина \(X\) распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение \(m\), выражается формулой $$P_{m}=\frac{a^{m}}{m!}e^{-a}$$     где \(a\) — некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.     Ряд распределения случайной величины \(X\), распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

\(x_{m}\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(...\)	\(m\)	\(...\)
\(P_{m}\)	\(e^{-a}\)	\(\frac{a}{1!}e^{-a}\)	\(\frac{a}{2!}e^{-a}\)	\(...\)	\(\frac{a^{m}}{m!}e^{-a}\)	\(...\)

    Определим основные характеристики — математическое ожидание и дисперсию—случайной величины \(X\);, распределенной по закону Пуассона. По определению математического ожидания $$m_{x}=M[X]=\sum_{m=0}^{0}{m P_{m}} =\sum_{m=0}^{0}{m \frac{a^{m}}{m!}e^{-a}}$$ $$m_{x}=ae^{-a}\sum_{k=0}^{0}{\frac{a^{k}}{k!}} =ae^{-a}e^{a}=a$$     Таким образом, параметр \(a\) представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины \(X\).
    Далее находим дисперсию величины \(X\): $$D_{x}=a_{2}-m_{x}^{2}=a^{2}+a-a^{2}=a$$     Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию \(a\).
    Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина \(X\) распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики — математическое ожидание и дисперсию — случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.

---