Зависимые и независимые случайные величины

    При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами может быть настолько тесной, что, зная значение одной случайной величины, можно в точности указать значение другой. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми.
    Понятие о независимых случайных величинах — одно из важных понятий теории вероятностей.
    Случайная величина \(Y\) называется независимой от случайной величины \(X\), если закон распределения величины \(Y\) не зависит от того, какое значение приняла величина \(X\).
    Для непрерывных случайных величин условие независимости \(Y\) от \(X\) может быть записано в виде:

$$f(y\mid x)=f_{2}(y)$$ при любом \(у\).
    Напротив, в случае, если \(Y\) зависит от \(X\), то $$f(y\mid x) \neq f_{2}(y)$$     Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина \(Y\) не зависит от \(X\), то и величина \(X\) не зависит от \(Y\).
    Действительно, пусть \(Y\) не зависит от \(X\): $$f(y\mid x)=f_{2}(y)$$ имеем: $$f_{1}(x)f(y\mid x)=f_{2}(y)f(x\mid y)$$ откуда, получим: $$f_{1}(x)=f(x\mid y)$$ что и требовалось доказать.
    Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин.
    Случайные величины \(X\) и \(Y\) называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины \(X\) и \(Y\) называются зависимыми.
    Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид: $$f(x, y)=f_{1}(x)f_{2}(y)$$     т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
    Часто по самому виду функции \(f(x, у)\) можно заключить, что случайные величины \(X, Y\) являются независимыми, а именно, если плотность распределения \(f(x, у)\) распадается на произведение двух функций, из которых одна зависит только от \(х\), другая — только от \(у\), то случайные величины независимы.
    Пример 1.Плотность распределения системы \((X, Y)\) имеет вид: $$f(x, y)=\frac{1}{\pi ^{2}(x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}+1)}$$ Определить: зависимы или независимы случайные величины \(X\) и \(Y\).
    Решение. Разлагая знаменатель на множители, имеем: $$f(x, y)=\frac{1}{\pi (x^{2}+1)}\frac{1}{\pi (y^{2}+1)}$$     Из того, чти функция \(f(x, y)\) распалась на произведение двух функций из которых одна зависит только от \(х\), а другая — только от \(у\), заключаем, чго величины \(X\) и \(Y\) должны быть независимы. Действительно, применяя формулы, имеем: $$f(x, y)=\frac{1}{\pi (x^{2}+1)}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{dy}{\pi (y^{2}+1)}}=\frac{1}{\pi (x^{2}+1)}$$ аналогично $$f(x, y)={\frac{1}{\pi (y^{2}+1)}}$$ откуда убеждаемся, что $$f(x, y)=f_{1}(x)f_{2}(y)$$ и, следовательно, величины \(X\) и \(Y\) независимы.

---