Вероятность попадания случайной величины на заданный участок

    При решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто оказывается необходимым вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от \(\alpha\) до \(\beta\). Это событие мы будем называть «попаданием случайной величины \(X\) на участок от \(\alpha \) до \(\beta\).
    Условимся для определенности левый конец \(\alpha\) включать в участок (\(\alpha, \beta)\), а правый — не включать. Тогда попадание случайной величины \(X\) на участок (\(\alpha, \beta)\) равносильно выполнению неравенства:

$$\alpha\leq X< \beta.$$
    Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины \(X\). Для этого рассмотрим три события:
событие \(A\), состоящее в том, что \(X< \beta\);
событие \(B\), состоящее в том, что \(X< \alpha\);
событие \(C\), состоящее в том, что \(\alpha \leq X< \beta\).
    Учитывая, что \(A=B+C\), по теореме сложения вероятностей имеем: $$P(X< \beta )=P(X< \alpha )+P(\alpha \leq X< \beta )$$ или $$F( \beta )=F(\alpha )+P(\alpha \leq X< \beta ),$$ откуда $$P(\alpha \leq X< \beta )=F( \beta )-F(\alpha ).$$ т. е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке. Будем неограниченно уменьшать участок \((\alpha , \beta)\), полагая, что \(\beta \rightarrow \alpha\). В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение \(\alpha \): $$P(X=\alpha )=\lim_{\beta \rightarrow \alpha }{P(\alpha \leq X< \beta )}=\lim_{\beta \rightarrow \alpha }{[F(\beta )-F(\alpha )]}.$$     Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция \(F(x)\) в точке \(x=\alpha \) или же терпит разрыв. Если в точке \(\alpha \) функция \(F(x)\) имеет разрыв, то предел равен значению скачка функции \(F(x)\) в точке \(\alpha \). Если же функция \(F(x)\) в точке \(\alpha\) непрерывна, то этот предел равен нулю. В дальнейшем изложении мы условимся называть «непрерывными» только те случайные величины, функция распределения которых везде непрерывна. Имея это в виду, можно сформулировать следующее положение: вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
    Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина \(X\) должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю; однако, в исходе опыта случайная величина \(X\) непременно примет одно из своих возможных значений, т. е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.
    Из того, что событие \(X=\alpha \) имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т. е. что частота этого события равна нулю. Мы знаем, что частота события при большом числе опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события \(X=\alpha \) равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.
    Если событие \(A\) в данном опыте возможно, но имеет вероятность, равную нулю, то противоположное ему событие \(\bar{A}\) имеет вероятность, равную единице, но не достоверно. Для непрерывной случайной величины \(X\) при любом \(\alpha \) событие \(X\neq \alpha\) имеет вероятность, равную единице, однако это событие не достоверно. Такое событие при неограниченном повторении опыта будет происходить почти всегда, но не всегда.

---