Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Продолжение. Начало здесь

     II. Правило замены переменной (подстановки).
     Правило замены переменой в определенном интеграле требует большого внимания.
     Если $x=\psi (u)$, то $$\int f(x)dx=\int f[\psi (u)]\psi '(u)du.$$
При этом, если известен один из интегралов, то известен и второй. Если первый равен $F(x)$ (произвольную постоянную $C$ не пишем), то второй равен $F[\psi (u)]$; если же известен второй интеграл, то чтобы найти первый, нужно вместо $u$ подставить его выражение через $x$.
     Теперь сформулируем правило. Если в интервале $[u_{1}, u_{2}]$ функции $x=\psi (u)$, $\psi '(u)$ и $f[\psi (u)]$ непрерывны и $\psi (u_{1})=x_{1}$, $\psi (u_{2})=x_{2}$, то

$$\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x)dx}=\int_{u_{1}}^{u_{2}}{f[\psi (u)]\psi '(u)du}.$$

(Б)

Доказательство. Будем считать, что неопределенный интеграл слева известен и равен $F(x)$; тогда $$\int_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x)dx}=F(x_{2})-F(x_{1}).$$
Согласно сказанному выше неопределенный интеграл справа равен $F[\psi (u)]$, и поэтому $$\int_{u_{1}}^{u_{2}}{f[\psi (u)]\psi '(u)du}=F[\psi (u_{2})]-F[\psi (u_{1})]=F(x_{2})-F(x_{1}).$$
Сравнивая полученные равенства, получаем формулу (Б).
Из формулы (Б) видно, что одынтегральное выражение преобразуется так же, как и в случае неопределенного интеграла. Новые же пределы интегрирования $u_{1}$ и $u_{2}$ являются корнями уравнений

$$x_{1}=\psi (u)$$

$$x_{2}=\psi (u)$$

относительно не изветсной $u$.
Итак, вместо того, чтобы, выполнив при помощи замены переменной неопределенное интегрирование, вернуться к первоначальной переменной, а затем вычислить двойную подстановку в данных пределах, можно сразу взять двойную подстановку в новых пределах. Результат - значение определенного интеграла - получится тот же, а выкладок потребуется меньше.
Часто замена переменной в определенном интеграле производится не по формуле $x=\psi (u)$, а по формуле $u=\varphi (x)$, выражающей новую переменную через заданную. Тогда новые пределы $u_{1}$ и $u_{2}$ сразу определяются по формулам

$$u_{1}=\varphi (x_{1}),$$

$$u_{2}=\varphi (x_{2}).$$

При этом иногда возникают затруднения, связанные с тем, что если функция $u=\varphi (x)$ не монотонная, то обратная к ней функция $x=\psi (u)$ будет неоднозначной. Может даже оказаться, что различным значениям $x_{1}$ и $x_{2}$ будут соответствовать одинаковые значения $u_{1}=u_{2}$ (например, при подстановке $u=\cos x$ в пределах от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$) и интеграл справа в формуле (Б) будет равен нулю, а слева нет. Поэтому, чтобы формула (Б) оставалась справедливой, нужно на функцию $u=\varphi (x)$ наложить некоторые ограничения: достаточно потребовать, чтобы $\varphi (x)$ была в интервале $(x_{1}, x_{2})$ монотонна и имела производную, не равную нулю ни в одной внутренней точке интервала (короче, производная $\varphi '(x)$ должна сохранять постоянный знак). Тогда обратная функция $x=\psi (u)$ будет удовлетворять всем требованиям, сформулированным в правиле подстановке.

Пример 2. $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}.$$
Положим $x=\sin u$. Новые пределы интегрирования $u_{1}$ и $u_{2}$ найдем из уравнений $0=\sin u$ и $\frac{1}{2}=\sin u$; $u_{1}$ можно взять равным $0$, а $u_{2}$ - равным $\frac{\pi }{6}$. При изменении $u$ от $0$ до $\frac{\pi }{6}$. переменная $x=\sin u$ пробежит весь данный интервал интегрирования $\left[0, \frac{1}{2} \right]$. таким образом, $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\sin ^{2}u\cos u}{\cos u}du}=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\sin ^{2}udu}=\frac{1}{2}(u-\frac{\sin 2u}{2})\mid _{0}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}.$$
При выборе новых пределов интегрирования мог возникнуть вопрос: почему взяты пределы $u_{1}=0$ и $u_{2}=\frac{\pi }{6}$, а не, скажем $u_{1}=0$ и $u_{2}=\frac{5\pi }{6}$? Ведь $\sin \frac{5\pi }{6}$ тоже равен $\frac{1}{2}$. Можно проверить, что и при этих пределах величина интеграла останется прежней, однако его вычисление усложниться. Дело в том, что теперь $\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{\cos ^{2}u}$ уже не равно просто $u$. Это имеет место только в интервале $[0, \frac{\pi }{2}]$, где $\cos u\geq 0$; в интервале же $\left[\frac{\pi }{2}, \frac{5\pi }{6} \right]$ корень будет равен $-\cos u$, так как $\cos u\leq 0$. Поэтому $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}=\int_{0}^{\frac{5\pi }{6}}{\frac{\sin ^{2}u\cos u}{\left|\cos u \right|}du}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin ^{2}udu}-\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{6}}{\sin ^{2}udu}.$$
Произведя дальнейшие выкладки, получим тот же результат, что и раньше. Чтобы избежать ненужных осложнений при вычислениях, всегда берут наименьший возможный интервал изменения новой переменной интегрирования.

Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Примеры решения задач. Продолжение здесь

Оценка - 1.0 (15)

2012-11-06 • Просмотров [ 5609 ]

Замена переменной в определенном интеграле (продолжение)