Задача

Використовуючи класичний метод, знайти точку мінімуму заданої квадратичної функції з точністю до

$$10^{-3} .$$

$$f(x)=3x_1^2-8x_1 x_2+13x_2^2-x_1+17x_2$$

Розв’язання.

Знайдемо частинні похідні першого порядку і складемо систему рівнянь:

$$df/(dx_1 )=6x_1-8x_2-1, $$

$$df/(dx_2 )=-8x_1+26x_2+17,$$

Звідки:

$$ \left\{ \begin{aligned} &6x_1-8x_2-1=0, \\ & -8x_1+26x_2+17=0.\\ \end{aligned} \right. $$

Розв’язавши цю систему, отримаємо стаціонарну точку:

$$x(1)=(-1,18;-1,01)$$

Обчислюємо частинні похідні другого порядку:

$$(d^2 f)/(dx_1^2 )=6, $$

$$(d^2 f)/(dx_2^2 )=26,$$

$$(d^2 f)/(dx_1 dx_2 )=-8 $$

Складемо і обчислимо визначник для стаціонарної точки:

$$A=(d^2 f)/(dx_1^2 )=6,$$

$$B=(d^2 f)/(dx_1 dx_2 )=-8, $$

$$C=(d^2 f)/(dx_1^2 )=26,$$

$$D=|(6 ;-8; -8 ;26)|=92. $$

Оскільки

$$ A>0$$

і

$$D>0,$$

то точка

$$x((1))=(-1,18;-1,01)$$

є точкою мінімуму:

$$ f_min=f(-1,18;-1,01)=4,17-9,53+13,26+1,18-17,17=-8,09;$$

Відповідь:

$$ f_{min}=f(-1,18;-1,01)=-8,09.$$

---