Задача
За допомогою методом дотичних зробити шість кроків пошуку точки х* мінімуму функції
$$f(x)=0,4x^3-20ln(x)-7 $$
на відрізку [2; 3.5] і оцінити точність отриманого результату.
Розв’язання.
Знайдемо
$$f(2), f' (2), f(3,5), f' (3,5).$$
$$f' (x)=1,2x^2-20/x;$$
$$f(2)=3,2-13,8-7=-17,6;$$
$$f' (2)=4,8-10=-5,2;$$
$$f(3,5)=17,15-25,05-7=-14,9;$$
$$f' (3,5)=14,7-5,71=-8,99.$$
Крок 1. За формулою знайдемо с:
$$c=(3,5*f'(3,5)-2*f'(2)-f(3,5)+f (2))/(f'(3,4)-f'(2))=$$ $$=(31,465+10,4+14,9-17,6)/(8,99+5,2)=2,76.$$
Обчислюємо,
$$e_1=f' (2,76)=9,141-7,246=1,895.$$
Перевіримо $$|e_1 |$$ з $$ е =0,005;$$
$$(1,895>0,005)$$
процес продовжуємо.
Крок 2. Оскільки
$$(e_1 >0)$$
то
$$а = 2, b=2,76$$
$$f'(2,76)=1,895$$
і обчислюємо:
$$f(b)=f(2,76)=8,4-20,3-7=-18,9;$$
Обчислюємо с на відрізку : [2; 2,76]
$$c=(2,76*f'(2,76)-2*f'(2)-f(2,76)+f (2))/(f'(2,76)-f'(2))$$ $$=(5,23+10,41+18,9-17,6)/(1,89+5,2)=2,38;$$
Обчислюємо,
$$e_2=f' (2,28)=6,79-8,4=-1,61.$$
Порівнюємо
$$ -1,61<-0,05$$
процес продовжуємо.
Крок 3. Оскільки
$$ e_2 >0$$
то
$$a=2,38, b=2,76$$
$$f' (2,38)=-1,61$$
і обчислюємо:
$$f(a)=f(2,38)=5,39-17,34-7=-18,95.$$
Обчислюємо с на відрізку [2,38; 2,76]:
$$c=(2,76*f' (2,76)-2,38*f' (2,38)-f(2,76)+f (2,38))/(f' (2,76)-f' (2,38) )=$$ $$=(5,23+3,83+18,90-18,95=2,57)/3,505=2,57.$$
Обчислюємо,
$$e_3=f' (2,57)=7,93-7,77=0,16.$$
Порівнюємо
$$ 0,16>0,005$$
процес продовжуємо.
Крок 4. Оскільки
$$ e_3 >0$$
то
$$a=2,57, b=2,76 $$
$$f' (2,57)=0,16$$
і обчислюємо:
$$f(a)=f(2,57)=6,78-18,87-7=-19,09.$$
Обчислюємо с на відрізку [2,57; 2,76]:
$$c=(2,76*f' (2,76)-2,57*f' (2,57)-f(2,76)+f (2,57))/(f' (2,76)-f' (2,57) )=$$ $$=(5,23-0,41+18,9-19,09)/1,735=2,66.$$
Обчислюємо,
$$e_4=f' (2,66)=8,54-7,4=1,04.$$
Порівнюємо
$$ 1,04>0,005$$
процес продовжуємо.
Крок 5. Оскільки
$$e_4 >0,$$
то
$$ a=2,57, b=2,66 f' (2,66)=1,04$$
і обчислюємо:
$$f(b)=f(2,66)=7,52-19,56-7=-19,04.$$
Обчислюємо с на відрізку [2,57; 2,66]:
$$c=(2,66*f' (2,66)-2,57*f' (2,57)-f(2,66)+f (2,57))/(f' (2,66)-f' (2,57) )=$$ $$=(2,77-0,41+19,04-19,09)/0,885=2,61.$$
Обчислюємо,
$$e_5=f' (2,61)=8,17-7,66=0,51.$$
Порівнюємо
$$0,51>0,005$$
процес продовжуємо.
Крок 6. Оскільки
$$ e_5 >0,$$
то
$$ a=2,57, b=2,61 f' (2,61)=0,51$$
і обчислюємо:
$$f(b)=f(2,61)=7,11-19,18-7=-19,07.$$
Обчислюємо с на відрізку [2,57; 2,61]:
$$c=(2,61*f' (2,61)-2,57*f' (2,57)-f(2,61)+f (2,57))/(f' (2,61)-f' (2,57) )=$$ $$=(1,33-0,41+19,07-19,09)/0,35=2,56.$$
Обчислюємо,
$$e_6=f' (2,56)=7,814-7,81=0,004.$$
Порівнюємо
$$ 0,004<0,005$$
процес завершуємо.
Отже,
$$x^*=2,56.$$
$$f_{min}=f(2,56)=-19,09$$
Точність обчислення:
$$е=(2,61-2,57)/2=0,02.$$
Відповідь:
$$ x^*=2,56.$$
