Задача
Дана функція
$$ f(x) = 0,2*x^4-15ln(x)+5. $$
Методом дотичних знайти точку х* мінімуму функції
$$f(x)$$
з точністю
$$ e = 0,005.$$
Розв’язання.
Знайдемо похідну функції
$$f' (x)=0,8x^3-15/x.$$
Крок 1. Обчислення проводимо на відрізку [1,5:2,5]. Знайдемо
$$f(1,5), f'(1,5), f(2,5), f'(2,5)$$
і за формулою обчислимо x :
$$f(1,5)=0,2*(1,5)^4-15 ln(1,5)+5=-0,0694,$$
$$f(2,5)=0,2*(2,5)^4-15 ln(2,5)+5=-0,9313,$$
$$f'(1,5)=0,8*(1,5)^3-15/1,5=2,7-10=-7,3,$$
$$f'(2,5)=0,8*(2,5)^3-15/2,5=12,5-6=6,5,$$
$$x =(2,5*6,5+1,5*7,3+0,9319-0,694)/(6,5+7,3)=28,0625/13,8=2,0335.$$
Обчислимо
$$e_1=f' (2,0335)=0,8*(2,0335)^3-15/2,0335=6,727-7=-0,6494.$$
Оскільки
$$e_1<0,$$
то порівняємо
$$ e_1 з -e=-0,005:$$
$$ -0,6494<-0,005. $$
Умова завершення обчислень не виконується. Переходимо до кроку 2.
Крок 2. Оскільки
$$e_1<0, $$
то покладаємо
$$a=x=2,0335, b=2,5, $$
а з попереднього кроку беремо
$$f'(2,0335)=-0,6494,$$
$$ f(2,5)=-0,9319, $$
$$f' (2,5)=6,5.$$
Обчислюємо
$$f(a)=f(2,0335)=0,2*(2,0335)^4-15 ln(2,0335)+5=-2,2266.$$
За формулою обчислимо
$$ x \in [2,0335;2,5]: $$
$$x =(2,5*6,5+2,0335*0,6494+0,9319-2,2266)/(6,5+0,6494)=$$$$=16,2759/7,1494=2,2765.$$
Знаходимо
$$e_2=f' (2,2765)=0,8*(2,2765)^3-15/2,2765=9,4383-6,5891=2,8492.$$
Порівняємо
$$e_2 з 0,005:$$
$$ e_2>0,005.$$
Умова завершення обчислень не виконується. Переходимо до кроку 3.
Крок 3. Оскільки
$$ e_2>0,$$
то покладаємо
$$a=2,0335,$$
$$ b=x =2,2765,$$
а з попереднього кроку беремо
$$f'(2,2765)=2,8492, $$
$$f(2,0335)=-2,2266,$$
$$ f' (2,0335)=-0,6494.$$
Обчислюємо
$$f(b)=f(2,2765)=0,2*(2,2765)^4-15 ln(2,2765)+5=-1,968.$$
За формулою обчислимо
$$x\in [2,0335;2,2765]: $$
$$x =(2,2765*2,8492+2,0335*0,6494+1,968-2,2266)/(2,8492+0,6494)=$$$$=7,5482/3,49862,1575.$$
Знаходимо
$$e_3=f' (2,1575)=0,8*(2,1575)^3-15/2,1575=8,0342-6,9525=1,0817.$$
Порівняємо
$$e_3 з 0,005: e_3>0,005.$$
Умова завершення обчислень не виконується. Переходимо до кроку 4.
Крок 4. Оскільки
$$e_3>0,$$
то покладаємо
$$a=2,0335,$$
$$ b=x =2,1575, $$
а з попереднього кроку беремо
$$f(2,1575)=1,0817,$$
$$ f(2,0335)=-2,2266,$$
$$ f' (2,0335)=-0,6494.$$
Обчислюємо
$$f(b)=f(2,1575)=0,2*(2,1575)^4-15 ln(2,1575)+5=-2,2009.$$
За формулою обчислимо
$$x \in [2,0335;2,1575]: $$
$$x =(2,1575*1,0817+2,0335*0,6494+2,009-2,2266)/(1,0817+0,6494)=$$$$=3,6287/1,7311=2,0962.$$
Знаходимо
$$e_4=f' (2,0962)=0,8*(2,0962)^3-15/2,0962=7,3686-7,1558=0,2128.$$
Порівняємо
$$e_4 з 0,005:$$
$$ e_4>0,005.$$
Умова завершення обчислень не виконується. Переходимо до кроку 5.
Крок 5. Оскільки
$$e_4>0,$$
то покладаємо
$$a=2,0335,$$
$$ b=x =2,0962,$$
а з попереднього кроку беремо
$$f(2,0962)=0,2128,$$
$$ f(2,0335)=-2,2266,$$
$$ f' (2,0335)=-0,6494.$$
Обчислюємо
$$f(b)=f(2,0962)=0,2*(2,0962)^4-15 ln(2,0962)+5=-2,2404.$$
За формулою обчислимо
$$x \in [2,0335;2,0962]: $$
$$x =(2,0962*0,2128+2,0335*0,6494+2,2404-2,2266)/(0,2128+0,6494)=$$$$=1,7805/0,8622=2,0651.$$
Знаходимо
$$e_2=f' (2,0651)=0,8*(2,0651)^3-15/2,0651=7,0455-7,2636=-0,2181.$$
Оскільки
$$e_5<0,$$
то порівняємо
$$e_5 з -e=-0,005: -0,2181<-0,005.$$
Умова завершення обчислень не виконується. Переходимо до кроку 6.
Крок 6. Оскільки
$$e_1<0, $$
то покладаємо
$$a=x =2,0651,$$
$$ b=2,0962,$$
а з попереднього кроку беремо
$$f(2,0651)=-0,2181,$$
$$ f(2,0962)=-2,2404, $$
$$f' (2,0962)=0,2128.$$
Обчислюємо
$$f(a)=f(2,0651)=0,2*(2,0651)^4-15 ln(2,0651)+5=-2,2403.$$
За формулою обчислимо
$$ x \in [2,0651;2,0962]: $$
$$x=(2,0962*2128+2,0651*0,2181+2,2404-2,2403)/(0,2128+0.2181)=$$$$=0,8966/0,4309=2,0808.$$
Знаходимо
$$e_2=f' (2,0808)=0,8*(2,0808)^3-15/2,0808=7,0274-7,0287=-0,0013.$$
Оскільки
$$e_6<0, $$
то порівняємо
$$e_6 з -e=-0,005: -0,0013>-0,005.$$
Процес завершено. Приймаємо
$$ x^*=2,0808 $$
і обчислюємо
$$f_{min}=f(2,0808)=0,2*(2,0808)^4-15 ln(2,0808)+5=-2,242.$$
Відповідь
Отже,
\( x^*=2,0808,\)\( f_{min}=-2,242.\)
