Задача
Методом дотичних знайти точку х* мінімуму функції
$$f(x)=1,8x-6,7 sin(0,5*x)+6, $$
на проміжку
$$[a;b]=[1;3] $$
з точністю
$$e=0,005.$$
Розв’язання.
Знайдемо похідну:
$$f' (x)=1,8-3,35cos(0,5*x).$$
Крок 1. Обчислення проводимо на відрізку [1; 3]. Знайдемо
$$ f(1), f'(1), f(3), f'(3)$$
і за формулою обчислимо x :
$$f(1)=1,8-6,7sin0,5+6=1,8-6,*0,479+6=4,5907,$$
$$f' (1)=1,8-3,35cos0,5=1,8-3,35*0,877=-1,1379,$$
$$f(3)=1,8*3-6,7 sin(0,5*3)+6=5,4-6,6832+6=4,7168,$$
$$f' (3)=1,8-3,35 cos(0,5*3)=1,8-0,2369=1,5631, $$
$$x =(3*1,5631+1*1,1379-4,7168+4,5907)/(1,5631+1,1379)=$$$$=5,7011/2,701=2,111$$
Обчислимо:
$$e_1=f' (x )=1,8-3,35 cos(0,5*2,111)=1,8-1,65=0,15.$$
Порівняємо
$$e_1$$
з
$$ 0,005:$$
$$ e_1>0,005,$$
$$ b=x . $$
Крок 2. Обчислення проводимо на відрізку [1; 2,111].
$$f(a)=f(1)=4,5907,$$
$$f' (a)=f' (1)=-1,1379,$$
$$f(b)=f(2,111)=1,8*2,111-6,7 sin(0,5*2,111)+6=3,7998-$$$$-5,8299+6=3,9699,$$
$$x=(2,111*0,15+1*1,1379-3,9699+4,5907)/(0,15+1,1379)=$$$$=2,0754/1,2879=1,611$$
Обчислимо:
$$e_2=f' (x )=1,8-3,35 cos(0,5*1,611)=1,8-2,3207=-0,5207.$$
Порівняємо
$$e_2 $$
з
$$0,005:$$
$$ e_2<-0,005, $$
$$a=x . $$
Крок 3. Обчислення проводимо на відрізку [1,611; 2,111].
$$f(a)=f(1,611)=1,8*1,611-6,7 sin(0,5*1,611)+6=2,8998-4,8296+$$$$+6=4,0702,$$
$$f' (a)=f' (x )=-0,5207,$$
$$f(b)=f(2,111)=3,9699,$$
$$f' (b)=f' (2,111)=0,15,$$
$$x =(2,111*0,15+1,611*0,5207-3,9699+4,0702)/(0,15+0,5207)=$$$$=1,2558/0,6707=1,872$$
Обчислимо:
$$e_3=f' (x)=1,8-3,35 cos(0,5*1,872)=1,8-1,9866=-0,1866.$$
Порівняємо
$$e_3$$
з
$$e:$$
$$ e_3<-0,005, $$
$$a=x.$$
Крок 4. Обчислення проводимо на відрізку [1,872; 2,111].
$$f(a)=f(1,872)=1,8*1,872-6,7 sin(0,5*1,872)+6=$$$$=3,3696-5,3948+6=3,9748,$$
$$f' (a)=f' (x )=-0,1866,$$
$$f(b)=f(2,111)=3,9699,$$
$$f' (b)=f' (2,111)=0,15,$$
$$x=(2,111*0,15+1,872*0,1866-3,9699+3,9748)/(0,15+0,1866)=$$$$=0,6709/0,3366=1,993$$
Обчислимо:
$$e_4=f' (x )=1,8-3,35 cos(0,5*1,993)=1,8-1,8199=-0,0199.$$
Порівняємо
$$e_4$$
з
$$e:$$
$$ e_4<-0,005,$$
$$ a=x. $$
Крок 5. Обчислення проводимо на відрізку [1,993; 2,111].
$$f(a)=f(1,993)=1,8*1,993-6,7 sin(0,5*1,993)+6=$$$$=3,5874-5,625++6=3,9622,$$
$$f' (a)=f' (x )=-0,0199,$$
$$f(b)=f(2,111)=3,9699,$$
$$f' (b)=f' (2,111)=0,15,$$
$$x=(2,111*0,15+1,993*0,0199-3,9699+3,9622)/(0,15+0,0199)=$$$$=0,3487/0,1699=2,052$$
Обчислимо:
$$e_5=f' (x )=1,8-3,35 cos(0,5*2,052)=1,8-1,7361=0,0639.$$
Порівняємо
$$ e_5$$
з
$$e:$$
$$ e_5>0,005, $$
$$b=x. $$
Крок 6. Обчислення проводимо на відрізку [1,993; 2,052].
$$f(a)=f(1,993)=3,9622,$$
$$f' (a)=f' (1,993)=-0,0199,$$
$$f(b)=f(2,052)=1,8*2,052-6,7 sin(0,5*2,052)+6=$$$$=3,6936-5,7301++6=3,9635.$$
$$f' (b)=f' (2,052)=0,0639,$$
$$x=(2,111*0,0639+1,993*0,0199-3,9635+3,9622)/(0,0639+0,0199)=$$$$=0,1695/0,0838=2,023$$
Обчислимо:
$$e_6=f' (x )=1,8-3,35 cos(0,5*2,023)=1,8-1,7775=0,0225.$$
Порівняємо
$$ e_6$$
з
$$ e:$$
$$ e_6>0,005,$$
$$ b=x .$$
Крок 7. Обчислення проводимо на відрізку [1,993; 2,023].
$$f(a)=f(1,993)=3,9622,$$
$$f' (a)=f' (1,993)=-0,0199,$$
$$f(b)=f(2,023)=1,8*2,023-6,7 sin(0,5*2,023)+6=$$$$=3,6414-5,6791+6=3,9623,$$
$$f' (b)=f' (2,023)=0,0225,$$
$$x=(2,023*0,0225+1,993*0,0199-3,9623+3,9622)/(0,0225+0,0199)=$$$$=0,0851/0,0424=2,007$$
Обчислимо: \(e_7=f' (x )=1,8-3,35 cos(0,5*2,007)=1,8-1,8001=-0,0001,\)
Порівняємо
$$e_7$$
з
$$e:$$
$$ e_7>-0,005.$$
Приймаємо
$$x*=2,007 $$
і обчислюємо:
$$f_{min}=f(x* )=1,8*2,007-6,7 sin(0,5*2,007)+6=$$$$=3,6126-5,6505+6=3,9621.$$
Відповідь
Отже,
$$ x^*=2,007,$$
$$ f_{min}=3,9621$$
