Задача
Методом Фібоначчі, використовуючи тільки калькулятор, обчислити з точністю e=0,05 точку х* мінімуму функції
$$f(x)=1,8x-6,7 sin(0,5*x)+6$$
і f(x*) на проміжку [a;b]=[1;3].
Розв’язання.
Число п кроків знайдемо з умови:
$$F_(n+2)>(b-a)/e=(3-1)/0,05=2/0,05=40.$$
Оскільки,
$$ F_1=F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8, F_7=13, F_8=21, F_9=34, F_10=55… ,$$
то найменшим з чисел Фібоначчі, яке перевищує число 40 є число
$$ F_{10}=55. $$
При цьому
$$ n+ 2 = 10, а n = 8. $$
Крок 1. Покладаємо
$$a_1=1,$$
\( b_1=3\) і за формулами при п = 8 обчислюємо:
$$c_1=a_1+F_8/F_{10} *(b_1-a_1 )=1+0,382*2=1,+0,764=1,764,$$
$$d_1=a_1+b_1-c_1=1+3-1,764=2,236.$$
Обчислюємо:
$$f(c_1 )=f(1,764)=1,8*1,764-6,7 sin(0,5*1,764)+6=3,1752--5,1724+$$$$+6=4,0028,$$
$$f(d_1 )=f(2,236)=1,8*2,236-6,7 sin(0,5*2,236)+6=4,0248--6,0233+$$$$+6=4,0015.$$
Порівнюємо
$$f(c_1)$$
і
$$f(d_1): $$
$$f(c_1 )>f(d_1)$$
Наступний відрізок локалізації [1,764;3].
Крок 2. Покладаємо
$$a_2=c_1=1,764,$$
$$ b_2=b_1=3,$$
$$ c_2=d_1=2,236,$$
$$f(c_2 )=f(d_1 )=4,0015.$$
Обчислюємо:
$$d_2=a_2+b_2-c_2=1,764+3-2,236=2,528,$$
$$f(d_2 )=f(2,528)=1,8*2,528-6,7 sin(0,5*2,528)+6=4,5504-6,387+$$$$+6=4,1634.$$
Порівнюємо
$$ f(c_2) і f(d_2): $$
$$f(c_2 )<f(d_2)$$
Наступний відрізок локалізації [1,764;2,528].
Крок 3. Покладаємо
$$a_3=a_2=1,764,$$
$$ b_3=b_2=2,528, $$
$$d_3=c_2= =2,236,$$
$$ f(d_3 )=f(c_2 )=4,0015.$$
Обчислюємо:
$$c_3=a_3+b_3-d_3=1,764+2,528-2,236=2,056,$$
$$f(c_3 )=f(2,056)=1,8*2,056-6,7 sin(0,5*2,056)+6=3,7008--5,7352+$$$$+6=3,9656.$$
Порівнюємо
$$f(c_3)$$
і
$$f(d_3): $$
$$f(c_3 )<f(d_3)$$
Наступний відрізок локалізації [1,764;2,236].
Крок 4. Покладаємо
$$a_4=a_3=1,764,$$
$$ b_4=d_3=2,236,$$
$$ d_4=c_3= =2,056, $$
$$f(d_4 )=f(c_3 )=3,9656.$$
Обчислюємо:
$$c_4=a_4+b_4-c_4=1,764+2,236-2,056=1,944,$$
$$f(c_4 )=f(1,944)=1,8*1,944-6,7 sin(0,5*1,944)+6=3,4992--5,5342+$$$$+6=3,965.$$
Порівнюємо
$$ f(c_4)$$
і
$$f(d_4): $$
$$f(c_4 )<f(d_4)$$
Наступний відрізок локалізації [1,764;2,056].
Крок 5. Покладаємо
$$ a_5=a_4=1,764,$$
$$ b_5=d_4=2,056, $$
$$d_5=c_4= =1,944,$$
$$ f(d_5 )=f(c_4 )=3,965.$$
Обчислюємо:
$$c_5=a_5+b_5-c_5=1,764+2,056-1,944=1,876,$$
$$f(c_5 )=f(1,876)=1,8*1,876-6,7 sin(0,5*1,876)+6=3,3768-5,403+$$$$+6=3,9738.$$
Порівнюємо
$$ f(c_5) іf(d_5): $$
$$f(c_5 )>f(d_5)$$
Наступний відрізок локалізації [1,876;2,056].
Крок 6. Покладаємо
$$ a_6=c_5=1,876,$$
$$ b_6=b_5=2,056, $$
$$c_6=d_5=1,944, $$
$$f(c_6 )=f(c_5 )=3,9738.$$
Обчислюємо:
$$d_6=a_6+b_6-c_6=1,876+2,056-1,944=1,988,$$
$$f(d_6 )=f(1,988)=1,8*1,988-6,7 sin(0,5*1,988)+6=3,5784--5,6146+$$$$+6=3,9638.$$
Порівнюємо
$$f(c_6)$$
і
$$f(d_6): $$
$$f(c_6 )>f(d_6)$$
Наступний відрізок локалізації [1,944;2,056].
Крок 7. Покладаємо
$$ a_7=c_6=1,944,$$
$$ b_7=b_6=2,056,$$
$$ c_7=d_6=1,988,$$
$$ f(c_7 )=f(c_6 )=3,9738.$$
Обчислюємо:
$$d_7=a_7+b_7-c_7=1,944+2,056-1,988=2,012,$$
$$f(d_7 )=f(2,012)=1,8*2,012-6,7 sin(0,5*2,012)+6=3,6216-5,659+$$$$+6=3,9626.$$
Порівнюємо
$$f(c_7)$$
і
$$f(d_7): $$
$$f(c_7 )>f(d_7)$$
Наступний відрізок локалізації [1,988;2,056].
Крок 8. Покладаємо
$$a_8=c_7=1,988,$$
$$ b_8=b_7=2,056, $$
$$c_8=d_7=2,012,$$
$$ f(c_8 )=f(c_7 )=3,9738.$$
Обчислюємо: \(d_8=a_8+b_8-c_8=1,988+2,056-2,012=2,032,\)
$$f(d_8 )=f(2,032)=1,8*2,032-6,7 sin(0,5*2,032)+6=3,6576-5,695+$$$$+6=3,9626.$$
Порівнюємо
$$ f(c_8) $$
і
$$f(d_8): $$
$$f(c_8 )>f(d_8)$$
Перевіряємо умову
$$d_8-c_8<e:2,032-2,012=0,02<0,05.$$
Обчислюємо:
$$x*=(c_8+d_8)/2=(2,012+2,032)/2=4,044/2=2,022$$
$$f_{min}=f(2,022)=1,8*2,022-6,7 sin(0,5*2,022)+6=3,6396-5,6749+$$$$+6=3,9647.$$
Відповідь
Отже,
$$x^*=2,022,$$
$$ f_{min}=3,9647. $$
