Задача

Задана опукла функція

$$ f(x_1; x_2 )=5x_1^2-4x_1 x_2++3x_2^2+2x_1-6x_2.$$

Знайти точку мінімуму

$$x^*=(x_1^*; x_2^* )$$

даної функції, якщо змінні задовольняють рівнянню

$$ 2x_1-x_2+3=0.$$

Точку

$$x^*=(x_1^*; x_2^* )$$

знайти методом Якобі.

Розв’язання.

Розв’яжемо рівняння:

$$2x_1-x_2+3=0, $$

$$ -x_2=-3-2x_1, $$

$$x_2=3+2x_1.$$

$$f(x_1 )=5x_1^2-4x_1*(3+2x_1 )+3*(3+2x_1)^2+2x_1-6*(3+2x_1 )=$$$$=5x_1^2-4*(3x_1+2x_1^2 )+3*(9+12x_1+4x_1^2 )+$$$$+2x_1-18-12x_1=$$$$=5x_1^2-12x_1-8x_1^2+27+36x_1+12x_1^2+2x_1-18-12x_1=$$$$=9x_1^2+14x_1+9.$$

Обчислемо похідну:

$$f' (x_1 )=18x_1+14,$$

$$18x_1+14=0,$$

$$x_1=-14/18=-0,8.$$

$$x_2=3+2*(-0,8)=3-1,6=1,4.$$

Відповідь

$$f_{min} (x_1, x_2 )=5*(-0,8)^2-4*(-0,8)*1,4+3*1,4^2+28(-0,8)-6*1,4=$$$$=3,2+4,48+5,88-1,6-8,4=3,56. $$

---