Задача

Задана опукла функція

$$ f(x_1; x_2 )=5x_1^2-4x_1 x_2++3x_2^2+2x_1-6x_2.$$

Знайти точку мінімуму

$$ x^*=(x_1^*; x_2^* ) $$

даної функції, якщо змінні задовольняють рівнянню

$$ 2x_1-x_2+3=0.$$

Точку

$$ x^*=(x_1^*; x_2^* )$$

знайти методом Лагранжа.

Розв’язання.

Складаємо функцію Лагранжа:

$$L(x_1; x_2;\lambda)=f(x_1; x_2 )+\lambda g(x_1; x_2),$$

$$L(x_1; x_2; \lambda)=5x_1^2-4x_1 x_2+3x_2^2+2x_1-6x_2+\lambda(2x_1-x_2+3).$$

Знаходимо похідні:

$$dL/(dx_1 )=2\lambda+10x_1-4x_2+2, $$

$$(d^2 L)/(d\lambda^2 )=0, $$

$$(d^2 L)/(dx_1^2 )=10,$$

$$dL/(dx_2 )=6x_2-4x_1-\lambda-6, $$

$$ (d^2 L)/(d\lambda dx_1 )=(d^2 L)/(dx_1 d\lambda)=2,$$

$$(d^2 L)/(dx_2^2 )=6,$$

$$dL/d\lambda=2x_1-x_2+3, $$

$$(d^2 L)/(d\lambda dx_2 )=(d^2 L)/(dx_2 d\lambda)=-1, $$

$$ (d^2 L)/(dx_1 dx_2 )=-4.$$

Записуємо систему:

$$ \left\{ \begin{aligned} &10x_1-4x_2+2\lambda+2=0;\\ &-4x_1+6x_2-\lambda-6=0;\\ &2x_1-x_2+3=0\\ \end{aligned} \right. $$

$$x_1=-7/9=-0,8,$$

$$x_2=13/9=1,4,$$

$$\lambda=52/9=5,8.$$

Складаємо визначник:

$$\bigtriangleup= - \pmatrix{0& 2& -1\\ 2& 10& 4\\-1& -4& 10}=-(-34)=34>0,$$

отже функція

$$f(x_1; x_2)$$

у точці (-0,8;1,4) має умовний мінімум.

Покладаємо:

$$ x_1=-0,8, x_2=1,4.$$

Відповідь

$$f_{min}=5*(-0,8)^2-4*(-0,8)*1,4+3*(1,4)^2+2*(-0,8)-6*1,4=$$$$ =3,2+4,48+5,88-1,6-8,4=3,56.$$

---