Задача
За методом найшвидшого спуску, для функцій
$$f(x_1;x_2) ,$$
починаючи з точки
$$x^0 $$
і користуючись лише комп’ютерним калькулятором, зробити перші два кроки обчислень.
$$f(x)=3x_1^2-8x_1 x_2+13x_2^2-x_1+17x_2$$
Розв’язання.
Обчислимо похідні:
$$df/(dx_1 )=6x_1-8x_2-1, $$
$$ df/(dx_2 )=-8x_1+26x_2+17,$$
$$(d^2 f)/(dx_1^2 )=6, $$
$$(d^2 f)/(dx_2^2 )=26,$$
$$ (d^2 f)/(dx_1 dx_2 )=-8,$$
Тоді,
$$ (d^2 f(x^0))/(dx_1^2 )=6, $$
$$ (d^2 f(x^0))/(dx_2^2 )=26$$
$$(d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )=-8$$
Складемо матрицю
\(A=(((d^2 f(x^0))/(dx_1^2 )(d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )(d^2 f(x^0))/(dx_1 dx_2 )(d^2 f(x^0))/(dx_2^2 )))=\)\(=$$$$=((6;-8;-8;26))\)
обчислюємо її головні мінори:
$$\bigtriangleup_1=6 $$
$$ \bigtriangleup_2=\pmatrix{6& -8\\ -8& 26}=92.$$
Оскільки мінори додатні, то за критерієм Сільвестра матриця А додатно означена, а тому функція
$$ f(x1; x2)$$
в околі точки
$$ x(0)$$
є строго опуклою.
Користуючись формулами знаходимо (при k = 0)
\(y_1=(df(x^0))/(dx_1 )=6+8-1=13,\)\(y_2=df(x^0 )/(dx_2 )=17-26-8=-17.\)
Складемо функцію:
$$F(a)=f(x^k-a*gradf(x^k)=f(x_1^k-a*df(x_1^k,x_2^k)/dx_1,x_2^k-a*df(x_1^k,x_2^k)/dx_2 .$$
Оскільки
$$ x_1^0=1,$$
$$x_2^0=-1,$$
а
$$gradf(x^0) =((df(X^0) )/(dx_1 ),$$
$$(df(X^0) )/(dx_2 ))=(13;-17),$$
то
\(F(a)=3(1-13a)^2-8(1-13a)(-1+17a)+13(-1+17a)^2-1+13a+17(-1+17a)\) \(F(a)=6032a^2-471a+19, \)
тоді
$$ F' (a)=12064a-471=0, $$
отримаємо
$$ a^((0))=0,03.$$
Тоді
$$x_1^1=x_1^0-a^0*(df(X^0) )/(dx_1 )=1-0,03*13=0,61,$$
$$x_2^1=x_2^0-a^0*(df(X^0) )/(dx_2 )=-1-0,03*(-17)=-0,49.$$
Обчислюємо похідні:
$$y_1=(df(x^1) )/(dx_1 )==3,66+3,92-1=6,58,$$
$$y_2=(df(x^1))/(dx_2 )=-4,88-12,74+17=-0,62$$
Оскільки,
\( x_1^1=0,61;\)\( x_2^1=-0,49,\)
а
$$ gradf(x^0)=((df(X^0)/(dx_1 ),(df(X^0))/(dx_2 ))=(6,58;-0,62),$$
то
\(F(a)=3(0,61-6,58a)^2-8(0,61-6,58a)(-0,49+0,62a)+$$$$+13(-0,49+0,62a)^2-0,61+6,58a+17(-0,49+0,62a)\) \(F(a)=162,4a^2-35,68a-5,22, \)
тоді
$$F'(a)=324,8a-35,68=0, $$
отримаємо
$$ a^0=0,1. $$
Тоді:
$$x_1^2=x_1^1-a^1*(df(X^1) )/(dx_1 )=0,61-0,1*6,58=-0,048,$$
$$x_2^2=x_2^1-a^1*(df(X^1) )/(dx_2 )=-0,49-0,1*(-0,62)=-0,428.$$
Приймаємо
$$x_1^*=-0,048,, $$
$$x_2^*=-0,428,$$
$$f_{min}=f(x_1^*,x_2^* )=-5,005.$$
Відповідь:
$$f_{min}=f(x_1^*,x_2^* )=-5,005.$$
