Задача

Задана функція

$$f(x_1; x_2 )=5x_1^2-4x_1 x_2+3x_2^2++2x_1-6x_2.$$

Треба, починаючи з точки

$$x^0=(2; -1)$$

зробити перші два кроки наближенного обчисленя точки

$$x*=(x_1*; x_2*)$$

за методом найшвидшого спуску.

Розв’язання.

Крок 1. Обчислимо:

$$df(x_1)/(dx_1 )=10x_1-4x_2+2=10*2+4+2=26.$$

$$df(x_1)/(dx_2 )=-4x_1+6x_2-6=-4*2+6*(-1)-6=-8-6-6=-20.$$

$$maxi|(df(x_1))/(dx_1 )|=26>e.$$

Складемо функцію

$$F(a).$$

Оскільки

$$x_1^1=2,$$

$$ x_2^1=-1,$$

а

\(grad f(x_1 )=((df(x_1))/(dx_1 ); \)\((dfx_1)/(dx_2 ))=(26; -20),\)

то

$$F(a)=5*(2-26a)^2-4*(2-26a)*(-1+20a)+3*(-1+20a)^2++2*(2-26a)-$$$$-6*(-1+20a)=$$

$$=5*(4-2*2*26a+676a^2 )-4*(-2+40a+26a-520a^2 )+$$$$+3*(1+2*(-1)*20a+400a^2 )+$$

$$+4-52a6-120a=20-520a+3380a^2+8-160a-104a+2080a^2+$$

$$+(-120a)+1200a^2+4-52a+6-120a=6660a^2-1076a++38.$$

Тоді:

$$F' (a)=13320a-1076, $$

$$ 13320a-1076=0,$$

$$ 13320a=1076,$$

$$ a_1=0,081.$$

$$x_1^2=x_1^1-a_1*df(x_1 )/(dx_1 )=2-0,081*26=2-2,106=-0,106,$$

$$x_2^2=x_2^1-a_1*df(x_1 )/(dx_2 )=-1-0,081*(-20)=-1+1,62=0,62.$$

Крок 2. Покладаємо

$$x_2=(-0,106; 0,62).$$

Обчислюємо:

$$df(x_2)/(dx_1 )=10x_1-4x_2+2=10*(-0,106)-4*0,62+2=$$$$=-1,06-2,48+2 =-1,54.$$

$$df(x_2)/(dx_2 )=-4x_1+6x_2-6=-4*(-0,106)+6*0,62-6=0,424+$$$$+3,72-6=-1,856.$$

$$(df(x_2))/(dx_1 )>e=1,54;$$

$$x_1^2=-0,106;$$

$$ x_2^2=0,62.$$

$$gradf(x_2 )=(-1,54; -1,856).$$

$$F(a)=5*(0,106+1,54a)^2-4*(-0,106+1,54a)*(0,62+1,856a)+$$$$+3*(0,62+1,856a)^2+2*(-0,106+1,54a)-$$

$$-6*(0,62+1,856a)=0,056-1,6324a+11,858a^2-0,26+0,79a-$$$$-3,82a-11,43a^2+1,1532+6,904a+10,33a^2-0,212+$$

$$+3,08a-3,72-11,136a=10,758a^2-5,8144a-2,9828.$$

$$F' (a)=21,516a-5,8144;$$

$$21,516a-5,8144=0;$$

$$a_2=0,27.$$

Відповідь

$$x_1^3=x_1^2-a_2*df(x_2 )/(dx_1 )=-0,106-0,27*(-1,54)=0,3098;$$

$$x_2^3=x_2^2-a_2*df(x_2 )/(dx_2 )=0,62-0,27*(-1,856)=1,12112.$$

---