Задача
Використовуючи метод Ньютона, обчислити мінімальне значення функції
$$f(x)=0,4x^3-20ln(x)-7$$
на відрізку [2; 3.5].
Розв'язання
Обчислимо похідні
$$f'(x)=1,2x^2-20/x $$
і
$$f''(x)=2,4x^2+20/x^2.$$
Крок 1. За початкову точку візьмемо точку
$$x_0=2,2 .$$
Обчислюємо
$$f'(x_0)=f'(2.2)=1,2*(2,2)^2-20/2,2=-3,282.$$
Перевіряємо умову оптимальності
$$f'(x_0)<e.$$
На першому кроці вона не виконується:
$$f'(2,2)=3,282>0,005.$$
Обчислюємо
$$f''(x_0)=f''(2.2)=2,4*2,2+20/2*4=9,41.$$
За формулою при
$$k=0 $$
обчислюємо
$$\overline{x_0} :$$
$$\overline{x_0}=x_0-f'(x_0)/f''(x_0)=2,548.$$
Крок 2. Покладаємо
$$x_1= \overline{x_0}=2,548.$$
Обчислюємо
$$f'(x_1)=f'(2,548)=0,059. $$
Перевіряємо умову оптимальності
$$f'(x_1)<e.$$
На другому кроці вона не виконується:
$$ f'(2,548)=0,059>0,005 .$$
Обчислюємо
$$ f''(x_1)=f''(2,548)=9,195.$$
За формулою при
$$ k=1$$
обчислюємо
$$ \overline{x_1} :$$
$$\overline{x_1}=x1-f'(x_1)/f''(x1)=2,554.$$
Крок 3. Покладаємо
$$ x_2=\overline{x_1}=2,554 .$$
Обчислюємо
$$ f'(x_2)=f'(2,554)=-0,003.$$
Перевіряємо умову оптимальності
$$ f'(x_2)<e:$$
$$f'(x_2)=0,003<0,005=e. $$
Обчислення завершені. Приймаємо
$$ x^*=2,554$$
і обчислюємо
$$f_min=f(2,554)=-19,087.$$
Отже,
Відповідь
$$x^*=2,554,f_{min}=-19,087 .$$
