Задача
Використовуючи метод золотого перерізу, обчислити мінімальне значення функції
$$f(x)=0,4x^3-20ln(x)-7$$
на відрізку [2; 3.5]. Точку знайти за шість кроків.
Розв'язання
Крок 1. Покладаємо, що
$$a_1=a=2;$$
$$b_1=b=3.5.$$
За формулою визначаємо
$$c_1= 0,618*2+0,382*3,5=2,573,$$
а потім за формулою
$$d_1=5,5-2,573=2,927.$$
Обчислюємо:
$$f(c_1)=f(2,573)=6,78-18,87-7=-19,09,$$
$$f(d_1)=f(2,927)=9,95-21,43-7=-18,48.$$
Порівнюємо
$$f(c_1)=-19,09,$$
і
$$f(d_1)=-18,48,$$
$$f(c_1 ) <f(d_1).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [2;2,297].
Крок 2. Покладаємо
$$a_2=2,$$
$$ b_2=2,297.$$
Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо
$$d_2= c_1=2,573,$$
обчислюємо
$$ c_2:$$
$$c_2=2+2,297-2,573=2,354.$$
$$f(c_2)=f(2,354)=5,19-17,08-7=-18,89;$$
Значення
$$f(d_2 )=-19,09,$$
беремо з обчислень на кроці 1.
Порівнюємо
$$f(c_2 )=-18,89 $$
i
$$f(d_2 )=-19,09:$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [2,354;2,927].
Крок 3. Покладаємо
$$ a_2=2,354,$$
$$b_2=2,927.$$
Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо
$$c_3 = d_2=2,573,$$
обчислюємо
$$ d_3: $$
$$d_3=2,708.$$
$$f(d_3)=f(2,708)=7,94-19,92-7=-18,98;$$
Значення
$$f(c_3 )=-19,09,$$
беремо з обчислень на кроці 2.
Порівнюємо
$$f(c_3 )=-19,09$$
i
$$ f(d_3 )=-18,98:$$
$$f(c_3 )<f(d_3).$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [2,354;2,708].
Крок 4. Покладаємо
$$a_2=2,354,$$
$$ b_2=2,708.$$
Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо
$$d_4= c_3=2,573,$$
обчислюємо
$$c_4: $$
$$c_4=2,489.$$
$$f(c_4)=f(2,489)=6,16-18,23-7=-19,07;$$
Значення
$$f(d_4 )=-19,09,$$
беремо з обчислень на кроці 3.
Порівнюємо
$$ f(c_4 )=-19,07$$
i
$$ f(d_4 )=-19,09:$$
$$f(c_4 ) )>f(d_4).$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [2,489;2,708].
Крок 5. Покладаємо
$$a_5=2,489,$$
$$ b_2=2,708.$$
Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо
$$c_5 = d_4=2,573,$$
обчислюємо
$$ d_5:$$
$$ d_5=2,624.$$
$$f(d_5)=f(2,624)=7,22-7-19,29=-19,07;$$
Значення
$$f(c_5 )=-19,09,$$
беремо з обчислень на кроці 4.
Порівнюємо
$$f(c_5 )=-19,09$$
i
$$f(d_5 )=-19,07:$$
$$f(c_(5 ) )<f(d_5).$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [2,489;2,624].
Крок 6 Покладаємо
$$a_6=2,489,$$
$$ b_6=2,624.$$
Використовуючи основну властивість золотого перетину, покладаємо
$$d_6= c_5=2,573,$$
обчислюємо
$$c_6:$$
$$c_6=2,54.$$
$$f(c_6)=f(2,54)=6,55-7-18,6=-19,05;$$
Значення
$$f(d_6) =-19,09, $$
беремо з обчислень на кроці 5.
Порівнюємо
$$f(c_6 )=-19,05$$
i
$$ f(d_6 )=-19,09:$$
$$f(c_6 )>f(d_6). $$
Отже, після шостого кроку відрізком локалізації є відрізок [2,54;2,624]. Процес завершено.
Обчислюємо:
$$x^*=(2,54+2,624)/2=2,582;$$
Відповідь
Отже,
$$ x^*=2,582. $$
Тоді:
$$f_{min}=f(2,582)=6,88-7-18,9=-19,02;$$
