Задача
Методом золотого перерізу, використовуючи тільки калькулятор, обчислити з точністю
$$e=0,05$$
точку х* мінімуму функції
\( f(x)=1,8x-6,7 sin(0,5*x)+6\) і f(x*) на проміжку \([a;b]=[1;3].\)
Розв’язання.
Оскільки
$$e = 0,05,$$
то будемо користуватись формулами:
$$c=0,618*a+0,382*b,$$
$$d=0,382*a+0,618*b.$$
Кількість кроків п, обчислимо з формули :
$$1+2,078*ln (3-1)/0,05=1+2,078*ln40=1+2,078*3,69=1+7,67=8,6.$$
Отже,
$$ n=9.$$
Крок 1. Покладаємо
$$a_1=a=1, b_1=b=3. $$
За формулою
$$ c=0,618*a+0,382*b $$
обчислюємо:
$$c_1=0,618*1+0,382*3=0,618+1,146=1,764,$$
а потім за формулою
$$d=0,382*a+0,618*b$$
знаходимо:
$$d_1=a_1+b_1-c_1=1+3-1,764=2,236.$$
Обчислюємо:
$$f(c_1 )=f(1,764)=1,8*1,764-6,7 sin(0,5*1,764)+6=$$$$=3,1752--5,1724+6=4,0028,$$
$$f(d_1 )=f(2,236)=1,8*2,236-6,7 sin(0,5*2,236)+6=$$$$=4,0248--6,0233+6=4,0015.$$
Порівнюємо
$$f(c_1 )=4,0028$$
і
$$ f(d_1 )=4,0015:$$
$$f(c_1 )=f(1,764)>f(2,236)=f(d_1).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,764;3].
Крок 2. Покладаємо
$$a_2=c_1=1,764,$$
$$ b_2=b_1=3,$$
$$ c_2=d_1=2,236,$$
$$ f(c_2 )=f(d_1 )=4,0015.$$
Обчислюємо:
$$d_2=a_2+b_2-c_2=1,764+3-2,236=2,528.$$
$$f(d_2 )=f(2,528)=1,8*2,528-6,7 sin(0,5*2,528)+6=$$$$=4,5504-6,387++6=4,1634.$$
Порівнюємо
$$f(c_2 )=4,0015 $$
і
$$f(d_2 )=4,1634:$$
$$f(c_2 )=f(2,236)<f(d_2 )=f(2,528).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,764;2,528].
Крок 3. Покладаємо
$$a_3=1,764, $$
$$b_3=2,528,$$
$$ d_3=c_2=2,236,$$
$$ f(d_3 )==f(c_2 )=4,0015.$$
Обчислюємо:
$$c_3=a_3+b_3-d_3=1,764+2,528-2,236=2,056,$$
$$f(c_3 )=f(2,056)=1,8*2,056-6,7 sin(0,5*2,056)+6=3,7008-5,737+$$$$+6=3,9638.$$
Порівнюємо
$$f(c_3 )=3,9638 і f(d_3 )=4,0015:$$
$$f(c_3 )=f(2,056)<f(d_3 )=f(2,236).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,764;2,236].
Крок 4. Покладаємо
$$ a_4=a_3=1,764,$$
$$ b_3=b_4=2,236, $$
$$d_4=c_3=2,056$$
$$ f(d_4 )=f(c_3 )=3,9638.$$
Обчислюємо:
$$c_4=a_4+b_4-d_4=1,764+2,236-2,056=1,94,$$
$$f(c_4 )=f(1,944)=1,8*,944-6,7 sin(0,5*1,944)+6=$$$$=3,4992--5,5342+6=3,965.$$
Порівнюємо
$$ f(c_4 )=3,965 і f(d_4 )=3,9638:$$
$$f(c_4 )=f(1,944)>f(d_4 )=f(2,056).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,944;2,236].
Крок 5. Покладаємо
$$a_5=c_4=1,944,$$
$$ b_5=b_4=2,236,$$
$$ c_5=d_4=2,056,$$
$$f(c_5 )=f(d_4 )=3,9638.$$
Обчислюємо:
$$d_5=a_5+b_5-c_5=1,944+2,236-2,056=2,124,$$
$$f(d_5 )=f(2,124)=1,8*2,124-6,7 sin(0,5*2,124)+6=$$$$=3,8232-5,849++6=3,9742.$$
Порівнюємо
$$f(c_5 )=3,9638 $$
і
$$f(d_5 )=3,9742:$$
$$f(c_5 )=f(2,056)<f(d_5 )=f(2,124).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,944;2,124].
Крок 6. Покладаємо
$$a_6=a_5=1,944,$$
$$ b_6=d_5=2,124,$$
$$ d_6=c_5= =2,056,$$
$$ f(d_6 )=f(c_5 )=3,9638.$$
Обчислюємо:
$$c_6=a_6+b_6-c_6=1,944+2,124-2,056=2,012,$$
$$f(c_6 )=f(2,012)=1,8*2,012-6,7 sin(0,5*2,012)+6=$$$$=3,6216--5,6595+6=3,9621.$$
Порівнюємо
$$f(c_6 )=3,9621 і f(d_6 )=3,9638:$$
$$f(c_6 )=f(2,012)<f(d_6 )=f(2,056).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,944;2,056].
Крок 7. Покладаємо
$$a_7=a_6=1,944,$$
$$ b_7=d_6=2,056,$$
$$ d_7=c_6= =2,012,$$
$$ f(d_7 )=f(c_6 )=3,9621.$$
Обчислюємо:
$$c_7=a_7+b_7-c_7=1,944+2,057-2,012=1,988,$$
$$f(c_7 )=f(1,988)=1,8*1,988-6,7 sin(0,5*1,988)+6=$$$$=3,5784--5,6146+6=3,9638.$$
Порівнюємо
$$f(c_7 )=3,9638 і f(d_7 )=3,9621:$$
$$f(c_7 )=f(1,988)>f(d_7 )=f(2,012).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,988;2,056].
Крок 8. Покладаємо
$$ a_8=c_7=1,988, $$
$$b_8=b_7=2,056,$$
$$ c_8=d_7=2,012,$$
$$f(c_8 )=f(d_7 )=3,9621.$$
Обчислюємо:
$$d_8=a_8+b_8-c_8=1,988+2,056-2,012=2,032,$$
$$f(d_8 )=f(2,032)=1,8*2,032-6,7 sin(0,5*2,032)+6=3,6576-5,695+$$$$+6=3,9626.$$
Порівнюємо
$$ f(c_8 )=3,9621 $$
і
$$f(d_8 )=3,9626:$$
$$f(c_8 )=f(2,012)<f(d_8 )=f(2,032).$$
Наступним відрізком локалізації точки мінімуму функції є відрізок [1,944;2,032].
Крок 9. Покладаємо
$$a_9=a_8=1,988,$$
$$ b_9=d_8=2,032.$$
Оскільки це останній крок, то обчислюємо:
$$e_9=b_9-a_9=2,032-1,988=0,044,$$
і порівнюємо з
$$e = 0,05 :$$
$$e_9<e.$$
Процес завершено.
Обчислюємо:
$$x*=(a_9+b_9)/2=(1,988+2,032)/2=4,02/2=2,01$$
$$f_{min}=f(x* )=f(2,01)=1,8*2,01-6,7 sin(0,5*2,01)+6=$$$$=3,618--5,656+6=3,962. $$
Відповідь
Отже,
$$ x^*=2,01,$$
$$ f_{min}=3,962.$$
