Задача

Задана функція

$$ f(x_1; x_2 )=5x_1^2-4x_1 x_2+3x_2^2++2x_1-6x_2,$$

$$ x^0=(2; -1). $$

Треба показати, що дана функція опукла.

Розв’язання.

Обчислимо похідні:

$$df/(dx_1 )=10x_1-4x_2+2,$$

$$ df/(dx_2 )=-4x_1+6x_2-6,$$

$$(d^2 f)/(dx_1^2 )=10, $$

$$ (d^2 f)/(dx_2^2 )=6, $$

$$(d^2 f)/(dx_1 dx_2 )=-4.$$

Матриця А має вигляд:

$$A= \pmatrix{10& -4\\ -4& 6}.$$

Її головні мінори

$$\bigtriangleup_1=a_{11}=10>0, $$

$$ \bigtriangleup_2=\pmatrix{10& -4\\ -4& 6} =10*6-(-4)*(-4)=60-16=44>0.$$

Відповідь

На підставі критерію Сільвестра функція

$$f (x)$$

у точці

$$ x_0 $$

є строго опуклою.

---