Задача

Задана функція

$$f(x_1;x_2 )=30x_1^2+20x_1 x_2+40x_2^2+x_1-10x_2$$

і початкова точка

$$x^0=(1;1).$$

Показати, що дана функція опукла

Розв’язання.

Обчислимо похідні

$$df/(dx_1 )=60x_1+20x_2+1 ;$$

$$ df/(dx_2 )=20x_1+80x_2-10;$$

$$(d^2 x)/(dx_1^2 )=60 ;$$

$$ (d^2 x)/(dx_1 dx_2 )=20 ; $$

$$ (d^2 f)/(dx_2^2 )=80.$$

Матриця A має вигляд

$$ A=\begin{bmatrix}60&20\\20&80\end{bmatrix}.$$

Її головні мінори

$$\bigtriangleup_1=a_{11}=60>0,$$

$$ \bigtriangleup_2=\begin{bmatrix}60&20\\20&80\end{bmatrix}=4400>0.$$

Відповідь

На підставі критерію Сільвестра функція

\( f(x)\) є строго опуклою.

---