Задача
Дана функція
$$ f(x) = 0,2*x^4-15ln(x)+5. $$
Раціональним методом обчислити з точністю
$$e = 0,05$$
точку х* мінімуму функції f(х) і f(х*).
Розв’язання.
Визначимо кількість кроків n, яка гарантує задану точність обчислень:
$$n>1+1,459473*ln (2,5-1,5)/0,05=1+1,459473*ln20=5,37.$$
Оскільки n найменше ціле число, що задовольняє нерівності, то n=6.
Крок 1. Покладаємо
$$a_1=a=1,5 ,$$
$$ b_1=b=2,5. $$
За формулами знаходимо
$$c_1=0,504a_1+0,496b_1=0,504*1,5+0.496*2,5=1,996 ,$$
$$d_1=0,496*a_1+0,504*b_1=0,496*1,5+0,504*2,5=2,004 ,$$
$$f(c_1 )=f(1,996)=0,2*(1,996)^4-15 ln(1,996)+5=-2,1927 ,$$
$$f(d_1 )=f(2,004)=0.2*(2,004)^4-15 ln(2,004)=-2,2015 .$$
Порівнюємо \(f(c_1 )\) і \(f(d_1 ) :\)
$$ f(c_1 )>f(d_1).$$
Крок 2. Покладаємо
$$ a_2=c_1=1,996 ,$$
$$ b_2=b_1=2,5.$$
Обчислюємо :
$$c_2=0,504a_2+0,496b_2=0,504*1,996+0.496*2,5=2,246 ,$$
$$d_2=0,496*a_2+0,504*b_2=0,496*1,996+0,504*2,5=2,25 ,$$
$$f(c_2 )=f(2,246)=0,2*(2,246)^4-15 ln(2,246)+5=-2,0479 ,$$
$$f(d_2 )=f(2,25)=0.2*(2,25)^4-15 ln(2,25)=-2,0381 .$$
Порівнюємо \(f(c_2 )\) і \(f(d_2 ) :\)
$$ f(c_2 )<f(d_2).$$
Крок 3. Покладаємо
$$ a_3=a_2=1,996 , $$
$$b_3=d_2=2,25.$$
Обчислюємо :
$$c_3=0,504a_3+0,496b_3=0,504*1,996+0.496*2,25=2.122 ,$$
$$d_3=0,496*a_3+0,504*b_3=0,496*1,996+0,504*2,25=2,124 ,$$
$$f(c_3 )=f(2,122)=0,2*(2,122)^4-15 ln(2,122)+5=-2,2302 ,$$
$$f(d_3 )=f(2,124)=0.2*(2,124)^4-15 ln(2,124)=-2,229 .$$
Порівнюємо \(f(c_3 )\) і \(f(d_3 ) :\)
$$f(c_3 )<f(d_3).$$
Крок 4. Покладаємо
$$ a_4=a_3=1,996 ,$$
$$ b_4=d_3=2,124.$$
Обчислюємо :
$$c_4=0,504a_4+0,496b_4=0,504*1,996+0.496*2,124=2,059 ,$$
$$d_4=0,496*a_4+0,504*b_4=0,496*1,996+0,504*2,124=2,06 ,$$
$$f(c_4 )=f(2,059)=0,2*(2,059)^4-15 ln(2,059)+5=-2.2384 ,$$
$$f(d_4 )=f(2,06)=0.2*(2,06)^4-15 ln(2,06)+5=-2,239 .$$
Порівнюємо \(f(c_4 )\) і \( f(d_4 ) :\)
$$ f(c_4 )>f(d_4).$$
Крок 5. Покладаємо
$$a_5=c_4=2,059 , $$
$$b_5=b_4=2,124.$$
Обчислюємо :
$$c_5=0,504a_5+0,496b_5=0,504*2,059+0.496*2,124=2,0912 ,$$
$$d_5=0,496*a_5+0,504*b_5=0,496*2,059+0,504*2,124=2,1118 ,$$
$$f(c_5 )=f(2,0912)=0,2*(2,0912)^4-15 ln(2,0912)+5=-2,2413 ,$$
$$f(d_5 )=f(2,1118)=0.2*(2,1118)^4-15 ln(2,1118)=-2,2353 .$$
Порівнюємо \( f(c_5 )\) і \(f(d_5 ) :\)
$$ f(c_5 )>f(d_5).$$
Крок 6. Покладаємо
$$ a_6=c_5=2,0912,$$
$$ b_6=b_5=2,124 . $$
Це останній крок. Перевіряємо умову завершення обчислень
$$b_6-a_6=0,0322<e=0,05 .$$
Відповідь
Оскільки \(f(a_6 )=f(c_5 )>f(d_5 )=f(b_6), \), то можна прийняти \(x^*=b_6=2,124 , \) a \( f_{min}=f(2,124)=-2,229. \)
