Задача
Раціональним методом, використовуючи тільки калькулятор, обчислити з точністю
$$e=0,05 $$
точку
$$x^* $$
мінімуму функції
$$f(x)=1,8x-6,7 sin(0,5*x)+6 $$
і
$$f(x^*)$$
на інтервалі
$$[a;b]=[1;3]. $$
Розв’язання.
З формул (1.2) і (1.3):
$$c=0,504*a+0,496*b, (1.4)$$
$$d=0,496*a+0,504*b. (1.5)$$
Визначимо кількість кроків п, яка гарантує задану точність обчислень:
$$n>1+1,459473*ln (3-1)/0,05=1+1,459473*ln40=1+1,459473*3,69=6,4.$$
Оскільки п найменше ціле число, що задовольняє нерівності, то n=7.
Крок 1. Покладаємо
\(a_1=a=1,\)\( b_1=b=3.\)
За формулами (1.4) та (1.5) знаходимо:
$$c_1=0,504*1+0,496*3=0,504+1,488=1,992,$$
$$d_1=0,496*1+0,504*3=0,496+1,512=2,008.$$
Обчислюємо:
$$f(c_1 )=f(1,992)=1,8*1,992-6,7 sin(0,5*1,992)+6=3,5856-5,623+$$$$+6=3,9626,$$
$$f(c_1 )=f(1,992)=1,8*2,008-6,7 sin(0,5*2,008)+6=3,6144-5,652+$$$$+6=3,9624.$$
Порівнюємо
$$f(c_1)$$
і
$$f(d_1):$$
$$f(c_1 )=f(1,992)>f(2,008)=f(d_1 )$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;3].
Крок 2. Покладаємо
$$ a_2=с_1=1,992,$$
$$ b_2=b_1=3.$$
Обчислюємо:
$$c_2=0,504*1,992+0,496*3=1,004+1,488=2,492,$$
$$d_2=0,496*1,992+0,504*3=0,988+1,512=2,5,$$
$$f(c_2 )=f(2,492)=1,8*1,492-6,7 sin(0,5*1,492)+6=4,4856-6,349+$$$$+6=4,1366.$$
$$f(c_2 )=f(2,5)=1,8*2,5-6,7 sin(0,5*2,5)+6=4,5-6,3583+$$$$+6 =4,1417.$$
Порівнюємо
$$f(c_2)$$
і
$$ f(d_2):$$
$$f(c_2 )<f(d_2 )$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,5].
Крок 3. Покладаємо
$$a_3=a_2=1,992,$$
$$ b_3=d_2=2,5.$$
Обчислюємо:
$$c_3=0,504*1,992+0,496*2,5=1,004+1,24=2,244,$$
$$d_3=0,496*1,992+0,504*2,5=0,988+1,26=2,248,$$
$$f(c_3 )=f(2,244)=1,8*2,244-6,7 sin(0,5*2,244)+6=4,0392--6,0367+$$$$+6=4,0025.$$
$$f(d_3 )=f(2,248)=1,8*2,248-6,7 sin(0,5*2,248)+6=4,0464-6,042+$$$$+6=4,044.$$
Порівнюємо
$$ f(c_3) $$
і
$$ f(d_3):$$
$$f(c_3 )<f(d_3 )$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,248].
Крок 4. Покладаємо
$$ a_4=a_3=1,992,$$
$$ b_4=d_3=2,248.$$
Обчислюємо:
$$c_4=0,504*1,992+0,496*2,248=1,004+1,115=2,119,$$
$$d_4=0,496*1,992+0,504*2,248=0,988+1,133=2,121,$$
$$f(c_4 )=f(2,119)=1,8*2,119-6,7 sin(0,5*2,119)+6=3,8142--5,8431+$$$$+6=3,9711.$$
$$f(d_4 )=f(2,121)=1,8*2,121-6,7 sin(0,5*2,121)+6=3,8178-5,846+$$$$+6=3,9718.$$
Порівнюємо
$$f(c_4)$$
і
$$f(d_4):$$
$$f(c_4 )<f(d_4 )$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,121].
Крок 5. Покладаємо
$$a_5=a_4=1,992,$$
$$ b_5=d_4=2,121.$$
Обчислюємо:
$$c_5=0,504*1,992+0,496*2,121=1,004+1,052=2,056,$$
$$d_5=0,496*1,992+0,504*2,121=0,988+1,069=2,057,$$
$$f(c_5 )=f(2,056)=1,8*2,056-6,7 sin(0,5*2,056)+6=3,701-5,737+$$$$+6=3,964,$$
$$f(d_5 )=f(2,057)=1,8*2,057-6,7 sin(0,5*2,057)+6=3,7026--5,7385+$$$$+6=3,9641.$$
Порівнюємо
$$f(c_5)$$
і
$$ f(d_5):$$
$$f(c_5 )<f(d_5 )$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,057].
Крок 6. Покладаємо
$$ a_6=a_5=1,992, $$
$$b_6=d_5=2,057.$$
Обчислюємо:
$$c_6=0,504*1,992+0,496*2,057=1,004+1,0203=2,0243,$$
$$d_6=0,496*1,992+0,504*2,057=0,988+1,0367=2,0247,$$
$$f(c_6 )=f(2,0243)=1,8*2,0243-6,7 sin(0,5*2,0243)+6=3,6437--5,6816+$$$$+6=3,9621,$$
$$f(d_6 )=f(2,0247)=1,8*2,0247-6,7 sin(0,5*2,0247)+6=3,644--5,6816+$$$$+6=3,9624.$$
Порівнюємо
$$ f(c_6) $$
і
$$f(d_6):$$
$$f(c_6 )<f(d_6 )$$
Наступним відрізком локалізації є відрізок [1,992;2,0247].
Крок 7. Покладаємо
$$a_7=a_6=1,992,$$
$$ b_7=d_6=2,0247. $$
Це останній крок. Перевіряємо умову завершення обчислень:
$$b_7-a_7=2,0247-1,992=0,0327<e=0,05.$$
Оскільки
$$f(a_7 )=f(c_6 )<f(b_7 )=f(d_6),$$
то можна прийняти:
$$x*=b_7=2,0247, $$
а
$$ f_{min}=f(x* )=f(2,0247)=1,8*2,0247-6,7 sin(0,5*2,0247)+6=$$$$=3,644-5,6816+6=3,962.$$
Відповідь
Отже,
$$x^*=2,0247,$$
$$ f_{min}=3,9624. $$
