Задача

Задана функція

$$f(x_1; x_2 )=5x_1^2-4x_1 x_2+3x_2^2++2x_1-6x_2,$$

$$ x(0)=(2; -1).$$

Треба, використовуючи необхідні умови екстремуму, знайти точку мінімуму

$$x^*=(x_1^*; x_2^*)$$

даної функції.

Розв’язання.

Обчислимо частинні похідні першого порядку:

$$df/(dx_1 )=10x_1-4x_2+2,$$

$$ df/(dx_2 )=-4x_1+6x_2-6.$$

Звідси:

$$ \left\{ \begin{aligned} &10x_1-4x_2+2=0\\ &-4x_1+6x_2-6=0\\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} &10x_1-4x_2=-2\\ &-4x_1+6x_2=6 |*1/2\\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} &10x_1-4x_2=-2 |*1/10\\ &-2x_1+3x_2=3\\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} &x_1-4/10 x_2=-2/10\\ &-2x_1+3x_2=3\\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} &x_1=4/10 x_2-2/10=2/5 x_2-1/5\\ &-2x_1+3x_2=3\\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} & x_1=2/5 x_2-1/5\\ &-2*(2/5 x_2-1/5)+3x_2=3\\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} & x_1=2/5 x_2-1/5\\ &-4/5 x_2+2/5+3x_2=3 \\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} & x_1=2/5 x_2-1/5\\ &11/5 x_2=13/5 |*5/11 \\ \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} & x_1=2/5 x_2-1/5\\ &x_2=13/11\\ \end{aligned} \right. $$

$$x_1=2/5*13/11-1/5=3/11$$

$$x_1=0,273, $$

$$ x_2=1,182.$$

Для точки

$$ x_1=(0,273;1,182):$$

$$A=(d^2 f)/(dx_1^2 )=10, $$

$$ B=(d^2 f)/(dx_1^2 dx_2^2 )=-4, $$

$$ C=(d^2 f)/(dx_2^2 )=6.$$

$$D=|(10;-4;-4;6)|=44>0,$$

$$A=10>0,$$

точка

$$ x_1=x^* (0,273;1,182)$$

є точкою мінімуму.

Відповідь

$$f_{min}=f(0,273;1,182)=5*0,273^2-4*0,273*1,182+3*1,182^2+$$$$+2*0,273-6*1,182=$$ $$=0,3726-1,2907+4,1914+0,546-7,092=-3,2732. $$

---